複雑な確率の問題

質問

場合分けが多過ぎて答えに全く自信がもてません；；
答えが出来た方は教えてくれると嬉しいです

教授が100人の生徒に計算問題を作ってくるように尋ねました。
翌日、予想外にも全ての生徒がそれぞれひとつ、もしくは二つの問題を作ってきたので、教授はN個の問題をその中から採用することに決めました（N<100）。
教授はそれぞれの生徒を一人づつ無作為に呼び出し、その生徒の持っている問題を全て集め、同様にN個の問題が集まるまでこの手順を行い続けました。
もし最後の生徒が二つの問題を作っていて、教授が既に99個の問題を集めていたとしたら、教授は無作為に二つのうちどれかを選びます。

問一　A君はひとつの問題を作り、B君は二つの問題を作りました。
そこでA君は両者とも等しい確率で問題が選ばれるのだと主張していますが、B君はB君の問題の方が選ばれる確立が高いと主張しています。
どちらの主張が正しいでしょうか？主張の真偽はNの値に依存するでしょうか？
また、他の生徒がいくつの問題を作ったのかにも依存するでしょうか？全ての特別なケースについて説明しましょう

問二　C君はひとつの問題を作ったのですが、途中でもう一問問題を即興で作りました。この行動は彼の問題が採用される確率を向上させるでしょうか？
また、B君やA君の問題が採用される確率を高めるでしょうか？もしそうなら、どちらの問題が採用される確率を高めるでしょうか？
実際の確率を計算する必要はないです。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

N 問選んだ後も、教授はランダムに学生を呼び続ける
と考えてみよう。学生全員を一列に並べることになるが、
求めたい確率は、この変更では変化しない。

各人の問題が選ばれる確率は、自分より前に呼ばれた学生の
作った問題数の合計が N-1 以下である確率だから、
「自分以外で」２問作った学生の人数について単調減少する。
よって、A No.1+3 の結論が正しい。

C が２問目を作っても、自分の確率は増加しないことが、
この考え方のヒントになる。

お礼

なるほど！　その例のおかげですっかり理解できました！！　私が当初に考えていたものよりも答えがずっとシンプルになって安心しましたよ
これで問題は解決です

回答No.3

nag0720

＃１にミスがありました。

仮に、B君以外に２問作った人がいないとすると、
B君の問題が選ばれる確率は、N/100
　　そのうち、２問とも選ばれる確率は、(N-1)/100
　　　　　　　１問だけ選ばれる確率は、1/100
A君の問題が選ばれる確率は、
　　B君の問題が２問とも選ばれたとき、(N-2)/99
　　B君の問題が１問だけ選ばれたとき、(N-1)/99
　　B君の問題が選ばれなかったとき、N/99
　なので、(N-1)/100×(N-2)/99 + 1/100×(N-1)/99 + (100-N)/100×N/99 = (98N+1)/9900
よってN＞1なら、B君の問題が選ばれる確率が高い。
N=1なら、確率は同じ。

要は、B君の問題が２問とも選ばれた場合、教授が呼ぶ学生の数が１人減るため、その分A君の問題が選ばれる確率が減るということです。
A君の問題が選ばれたかどうかは、B君の問題が選ばれる確率には影響しません。

極端な例を考えれば分かりやすいでしょう。
学生の数が２人だけで、N=2とすると、
教授が最初にA君を呼んだら、次にB君も呼ばなければならない、
教授が最初にB君を呼んだら、次にA君を呼ぶ必要はないので、
A君の問題が選ばれる確率は50％
B君の問題が選ばれる確率は100％
となります。

なお、
「もし最後の生徒が二つの問題を作っていて、教授が既に99個の問題を集めていたとしたら、教授は無作為に二つのうちどれかを選びます。 」
は、
「・・・教授が既にN-1個の問題を集めて・・・」の間違いですかね。

お礼

大体理解できましたよ！　ありがとうございます！　
エラーがあったところは申し訳ありません
N=2の時の例は非常にわかりやすく、80%ほど理解するにいたったのですが、
回答に関して二つ質問があります。答えてくださればうれしいです。

補足

回答に関して二つ質問があります。
１．C君が新たな問題を作った時に、彼の選ばれる確率が変わらなのは厳密にはなぜなのか。
２．「B君以外にも２問作った人がいたとしても、同じ考え方でB君の問題が選ばれる確率が高い。」ことを実際にどのように説明すればよいか。
回答してくだされば幸いです！ありがとうございます

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

＞教授はそれぞれの生徒を一人づつ無作為に呼び出し、
＞その生徒の持っている問題を全て集め、
＞同様にN個の問題が集まるまでこの手順を行い続けました。
ということは、N個の問題が集まるまで「単に呼ばれるか、呼ばれないか」ではないかと。
だとすると、持っている(作ってきた)問題の数には関係ないような…

＞もし最後の生徒が二つの問題を作っていて、
＞教授が既に99個の問題を集めていたとしたら、教授は無作為に二つのうちどれかを選びます
N＜ 100という条件があるので、もう生徒を呼ぶ必要はないですね。(^_^;)
「N-1個まで問題が集まっていて」ということであれば、いいと思います。。
その場合でも、A君、B君、C君は「問題が採用されること」を問うているので、
その問題数が1つだろうが2つだろうが関係ないと思います。

回答No.1

nag0720

問一
仮に、B君以外に２問作った人がいないとすると、
B君の問題が選ばれる確率はN/100
A君の問題が選ばれる確率は、
　　B君が選ばれたとき、(N-1)/100
　　B君が選ばれなかったとき、N/100
　なので、N/100×(N-1)/100 + (100-N)/100×N/100 = 99N/10000 ＜ N/100
よって、B君の問題が選ばれる確率が高い。

B君以外にも２問作った人がいたとしても、同じ考え方でB君の問題が選ばれる確率が高い。

問二
C君の作った問題が１問であろうと２問であろうと、C君が選ばれる確率は変わらないのでC君の問題が採用される確率は変わらない。

また、C君の作った問題が１問のときより２問のときのほうが他の人が選ばれる確率は下がるので、B君やA君の問題が採用される確率は低くなる。