４０人のクラスで同じ誕生日が５組いる確率

質問

高校の数学の教員です。

今日，高一数学の課題学習の授業で，「クラスに同じ誕生日の人が少なくとも２人いる確率」について取り組みました。

最初の生徒の予想は数％～１０％程度でした。ところが実際に計算してみると「40人の中で誕生日が同じ人が少なくとも2人いる確率」が８９%を超えると分かるとかなりビックリしていました。

そこで，実際に同じ誕生日の人がいるか調べてみると，同じ誕生日の組(2人ずつ)があるクラスでは4組，あるクラスでは５組いました。どのクラスにも1組はいるだろうと思っていたので4組，５組いたことに正直我々もビックリし，この奇跡がどれくらいなのか計算しようと思ったのですが正しい求め方・答えが分かりません。

「40人の中に同じ誕生日の２人が５組いる」確率の求め方を教えてください。

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

漸化式を作ってみましょう。

n人の生徒がいて、2人以上いる誕生日の日数をm日、1人しかいない誕生日の日数をk日としたときの確率をP(n,m,k)とすると、

P(n,m,k) = P(n-1,m,k)*m/365 + P(n-1,m-1,k+1)*(k+1)/365 + P(n-1,m,k-1)*(366-m-k))/365

という漸化式が成り立ちます。

この漸化式からP(n,m,k)を求めるのはちょっと難しいでしょうが、
エクセルを使うか、プログラムを組むかすればできます。

で、それぞれの確率を求めると、

１組もできない確率
　Σ[k=0～40]P(40,0,k)＝0.10876819
１組だけできる確率
　Σ[k=0～40]P(40,1,k)＝0.27061430
２組だけできる確率
　Σ[k=0～40]P(40,2,k)＝0.30114813
３組だけできる確率
　Σ[k=0～40]P(40,3,k)＝0.19873835
４組だけできる確率
　Σ[k=0～40]P(40,4,k)＝0.08695059
５組だけできる確率
　Σ[k=0～40]P(40,5,k)＝0.02671193

５組以上できる確率は、０組～４組できる余事象で、約3.378％となります。

なお、１組できる確率の５乗というのは間違いです。
そんな計算を許せば、２０組できる確率は、
0.8912^20＝0.099957
となって10％というとんでもない確率になってしまいます。
それに、0.8912は１組以上できる確率であって、１組できる確率ではありませんから。

お礼

ありがとうございました。助かりました。
ベストアンサーに選ばせていただきました。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

回答でなくて申し訳ありませんが、

題意からすると、二人以上が五組ではなくて、
二人が五組では？

三人以上の組みが存在するかどうかは題意からは不明ですけど、
少なくとも「五組」に含めてはいけない気がします。

お礼

ご指摘の通り，二人が５組です。
ありがとうございました。

回答No.5

20080715

＞「40人の中に同じ誕生日の２人が５組いる」確率の求め方を教えてください。

n人の生徒がいて、2人以上いる誕生日の日数がちょうど m 日であるような確率を Q(n,m) とすると、
Q(n,m)=(1/365^n)*n!*comb(365,m)*Σ[i=0～m]Σ[k=0～n]comb(m,i)*comb(365-i,n-k)*((i^k)/k!)*(-1)^(m-i).

Q(40,5)=
(45410567705735185523343466368225650045554467138898976133305537002065259312665
755033473224698398272)/(1700010913712669709625403853333479544436945558301618191
194079919655735625201486982405185699462890625)
=0.0267119….

5組以上いる確率は、
1-Q(40,0)-Q(40,1)-Q(40,2)-Q(40,3)-Q(40,4)
=(57427114621591358814621748287437497356669871081512291089034094716448474255931
795570178821063817792)/(1700010913712669709625403853333479544436945558301618191
194079919655735625201486982405185699462890625)
=0.0337804….

お礼

詳しい計算式で，わかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

追記。

◎確率計算の基本

・「かつ」の場合

「Ａ かつ　Ｂ」の確率＝Ａの確率×Ｂの確率

例：Ａ、Ｂのサイコロを投げて、Ａ、Ｂ両方とも１になる確率

「Ａが１　かつ　Ｂが１」の確率＝１／６　×　１／６＝１／３６

・「または」の場合

「Ａ　または　Ｂ」の確率＝１　－　「Ａでない　かつ　Ｂでない」

例：Ａ、Ｂのサイコロを投げて、Ａ、Ｂのどちらか、または両方が１になる確率

１　－　「Ａが１ではない　かつ　Ｂが１ではない」＝１　－　「５／６　×　５／６」＝１　－　２５／３６＝１１／３６

・「ではない」の確率

「Ａではない」の確率＝１　－　Ａである確率

・「同じ事象が同時にｎ組起きる場合」の確率

１組起きる確率のｎ乗

以上が「確率計算の基本」です。

◎４０人中、誕生日が同じ人が少なくとも１組居る確率

一組居る、と言う確率は「１　－　４０人の誕生日がすべて違う確率」と同じ。

４０人の誕生日がすべて違う確率とは

出席番号１番と２番の人の誕生日が異なる　かつ　出席番号１、２番と３番の人の誕生日が異なる　かつ　出席番号１、２、３番と４番の人の誕生日が異なる　……　出席番号１～３９番と４０番の人の誕生日が異なる

であるから、一組は居る確率は

１　－　364/365　×　363/365　×　362/365　×　361/365　×　360/365　×　……　×　326/365＝８９．１２％

となる。

２組居る確率は「Ａ・Ｂの組がいる　かつ　Ｃ・Ｄの組がいる」になる。

３組居る確率は「Ａ・Ｂの組がいる　かつ　Ｃ・Ｄの組がいる　かつ　Ｅ・Ｆの組が居る」になる。

５組居る確率は８９．１２％の５乗＝５６．２２％となる。

回答No.2

shintaro-2

まず、
誕生日１について40人でかぶらない確率を求め
誕生日２について38人でかぶらない確率を求め
誕生日３について36人でかぶらない確率を求め
以下同様
最後に、それぞれを掛け合わせる？

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

chie65536（@chie65535）

一組居る確率の５乗。

５７．７％くらい？

お礼

ありがとうございました。