玉の落ちる組み合わせ・確率

質問

ふと、組み合わせを考えていたら、自分で解き方すら全く分からない
問題を考えてしまったのですが、算数に詳しいかたお願い出来ます
でしょうか？

例えば、ピンボールのように玉をはじいて、５つの枠内のどれかに
その玉が落ちるとします。

それを６回繰り返して６個の玉を落とすのですが、
『１枠に２個以上の玉が落ちる確率』は、
１００％ですよね？

<２個以上落ちる例>

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※５つの枠に対して６個の玉を落とすので、どんなにバラけても
　必ず２個以上落ちる枠が存在。

ここで、
『１枠に３個以上の玉が落ちる確率』
とした場合の、その確率がわかりません。

<３個以上落ちる例>

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組み合わせで考えると、枠が５つ・玉が６個なので、５の６乗の
組み合わせになると思います。
そうすると、５の６乗＝１５６２５通りも考えることになって
現実的ではないので、何か、確率の計算方法で単純に求められ
るのではないかと思ってますが、それがさっぱり分かりません。

回答No.7

math_eater · ベストアンサー

＞『１枠に３個以上の玉が落ちる確率』

少なくとも一つの枠に、３個以上の玉が落ちる確率を
求めればいいのですね。
どの枠にも高々２個の玉が落ちる確率を求め、
それを 1 から引けばいいです。

計算式と答えは次のようになります。

1-(6!)*(Σ[k=2,4]C(5,k)*C(k,2k-4)*(1/2)^(5-k))/(5^6)
=1-8100/(5^6)
=301/625 (答)

お礼

有り難う御座います。

スゴイです。１つの式で書けるんですね。
私には全然理解出来ない式ですけど、私の質問の意図が伝わっておりますので、納得出来ました。

回答No.8

takeches

No.2です。なんか、自分が間違えていて混乱させてしまったみたいですみませんでした。一応私の方からも直しておきます。
玉が112345の形で入るとき、
6C2×4!
=360通り
122345,123345,123445,123455は同様の計算なので
360×5=1800通り

玉が112234の形で入るとき、
6C2×4C2×2C1×1C1
6C2×4C2×2
=180通り
112234での並びは
1122では
5C2=10通り
34では5-2=3より
3C2=3通り
よって10×3
=30通り
180×30
=5400通り

玉が112233の形で入るとき
6C2×4C2×2C2
=6C2×4C2
=90通り
同様に入るパターンを計算すると
1,2,3,4,5のうちの3つの数字の組み合わせですから
5C3=10通り
よって90×10
=900通り

よって合計8100通り
全部のパターンは6^5ですから
8100/15625より約分して
324/625
これを1(全体)からひくと
1-324/625
=301/625
よって確率は
301/625 のはずです。

お礼

有り難う御座います。
初回回答を戴いたとき(22110のパターンは25でなく30通りで、それを考慮すると165/210と言われたいと思います)、この165/210の考え方をすれば良いのかと思っておりましたが、２回目の回答ホント有り難う御座いました。

回答No.6

kumipapa

＃５さん
そうですね。落ちる順番も問題でした。
とすると、＃５さんのように場合分けして考えるしかなさそうですね。
他に何かうまい考え方は無いものでしょうか。
（質問者にはアドバイスにもなってなくてすいません）

お礼

＞質問者にはアドバイスにもなってなくてすいません

いえ、２度の回答有り難う御座います。

回答No.5

noname#47975

＞『１枠に３個以上の玉が落ちる確率』

うーん、各回に放った玉はどのような順番で落ちるかも考慮に入れなければならないかと思います。
５つの枠をそれぞれ１～５とすると、
１、２、３、４、５、５の順で落ちた場合と、５、５、４、３、２、１で落ちた場合とでは、結果的には玉の分布は同じになりますが、これらはそれぞれ異なるパターンとして取り扱う必要がありそうです。
なぜなら、上記のように１～４に１個ずつ、５に２個の玉が落ちていくケースは全部で、６Ｃ２×４！＝１５×２４＝６００通りです。
しかし、１、１、１、１、１、１などのように、
１に６個玉が落ちるケースでは、たった１通りしかありません。
なので、各々の落ちた玉の分布に対しては、同様に確からしいものとして扱ってはいけないかと思います。つまり、（条件を満たす玉の分布の適合件数）／（全体数）として確率を求めてはならないという事がいえます。

さて本題ですが、

この事象は、『１～５と書かれた５面のサイコロを６回投げるとき、３回以上同じ目がでる事象』と同じものである。

上記事象が起こる確率については、

全パターンは質問者さんのおっしゃるとおり、15625通り

i) 111234など３回同じ目が出る場合（ただし、111222などのように２つの目がそれぞれ３回ずつ出ない）

(5C1)×(6C3)×(4^3-4)= 6000通り

ii) 111222などのように２つの目がそれぞれ３回ずつ出る場合

(5C2)×(6C3)= 200通り

iii) 111123などのように４回同じ目が出る場合

(5C1)×(6C4)×(4^2) = 1200通り

iv) 111112などのように５回同じ目が出る場合

(5C1)×(6C5)×4 = 120通り

vi) 111111などのように６回とも同じ目が出る場合

5C1 = 5通り

であり、i)～vi)の合計は通りである。
よって、求めるべき確率は、7525/15625 = 301/625となります。

お礼

有り難う御座います

＞（条件を満たす玉の分布の適合件数）／（全体数）として確率を求めてはならない

考え方及び計算から結果まで参考になります。
その昔、多分学校で考え方をならっていたのかとは思いますが、かなりの歳月が経過したなかで、ふと思いついてしまった問題に対しては私の頭はもう働いてくれないようです。

回答No.4

kumipapa

５つの枠それぞれに入る玉の数をａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅとします。
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝６
となる０以上の整数ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅの組み合わせの数が、各枠に玉が入る個数の組み合わせの数になりますね。
これは良く知られた組み合わせの問題で、簡単に計算でき、(6+5-1)Ｃ(5-1)＝10Ｃ4 = ２１０通りです。

この組み合わせの数から、各枠に入る玉の数が２個以下になる組み合わせの数（４５通り）を引いた１６５通りが、３個以上入る組み合わせの数です。

故に、どこかの枠に３個以上入る確率は１６５／２１０＝１１／１４

回答No.3

vaio-user

No2 の方の回答にあるように、5つの枠に収まった後の状態で考えてみると分かりやすいと思います。このとき、玉の数が一致しているものはコンビネーションで考えます。

21111 : 5C1 * 4C4 = 5
22110 : 5C2 * 3C2 * 1C1 = 30
22200 : 5C3 * 2C2 = 10
31110 : 5C1 * 4C3 * 1C1 = 20
32100 : 5C1 * 4C1 * 3C1 * 2C2 = 60
33000 : 5C2 * 3C3 = 10
41100 : 5C1 * 4C2 * 2C2 = 30
42000 : 5C1 * 4C1 * 3C3 = 20
51000 : 5C1 * 4C1 * 3C3= 20
60000 : 5C1 * 4C4 = 5

トータルの通り数は、210です。
1つの枠に3個以上となるのは、11/14 (=165/210)。

いかがでしょうか？？

お礼

有り難う御座います。

『21111』の５パターンと『60000』の５パターンでは、確率がまったく違うので同一扱いは出来ないという内容を他の回答者さんより戴きましたのでかなり難しいようです。
しかし、今回戴きました回答も参考にさせて戴こうと思います。

回答No.2

takeches

質問者さんは全てで15625通りだと言っていますが、それは全ての杯に６ついっぱい入れて、かつその色(種類)が全て違う場合だと思います。なぜなら全て同色、同性質の玉ならば、全部入れた時のパターンは1しかありません。
　この場合においても、全てにバラバラに入れるわけではなく、玉の数は６と決まっているので、私には具体的な計算はできませんけど、組み合わせの数はすくなるなるものと思いました。
　あと、『１枠に２個以上の玉が落ちる確率』では少しおかしかったので、『どれか１枠に２個以上の玉が落ちる確率』で計算しました。とはいえ、具体的な計算は私もよく分からないので、全部のパターンを求めてみました。
　数字は玉の数で、計算はその数の組み合わせでのパターンを計算します。計算の仕方は、たとえば22110の時であれば、これ自体の組み合わせは、22110,22101,22011,20211,02211で5パターン、さらに、初期状態での数字自体の組み合わせが22110,21210,21120,12210,11220とあるので×5する、という風に計算します。途中計算ミスがあるかもしれないので気づいたら補足欄かお礼欄にでも書いてください。
21111 で入るとき、
5C5×5=5パターン(以後省略)
22110 のとき 5C4×5=25
22200 のとき 5C3×1=10
31110 のとき 5C4×4=20
32100 のとき 5C3×6=60
33000 のとき 5C2×1=10
41100 のとき 5C3×3=30
42000 のとき 5C2×2=20
51000 のとき 5C2×2=20
60000 のとき 5C1×1=5
3以上の数がある場合は165/205なので約分して33/41
したがって
『どれか１枠に３個以上の玉が落ちる確率』33/41 です。

回答No.1

maxmixmax

どこかの枠に3個以上の玉が落ちる確率は

どこかの枠に3個、玉が入る確率と
4個入る確率と5個入る確率と6個入る確率を足したものですよね。

ですから

3個の場合　　(1/5)^3*5　　1/25
4個の場合　　(1/5)^4*5　　1/125
5個の場合　　(1/5)^5*5　　1/625
6個の場合　　(1/5)^6*5　　1/3125

これを足せばよいのではないでしょうか？