誕生日に関する確率について

質問

こんにちは。
普段の生活で気になっていることなのですが・・・

これは実話なのですが、私は最近立て続けに自分と同じ誕生日の人ふたりに出会いました。
自分や親しい人と誕生日が同じ、と聞くと感覚的に「これは珍しい！」と感じるのですが、

よく考えてみると・・・

出会った人が自分と同じ誕生日である確率は約３６５分の１、ですよね？
たとえば私は今までの人生で、おそらく７００人くらいの人とは出会っていると思うので、
そこに同じ誕生日の人が２人いるのは確率的に正しい結果だなぁ、と。

で、誕生日つながりで、質問です。

質問１
３６５人の人がいたとして、この３６５人がすべて違う誕生日である確率はどのくらいですか？

質問２
これも実話なのですが、今働いているの会社の中に、同じ誕生日を持つ人が３組います。
社員数は６０人ほどなのですが、「ほど」だと計算できないから仮に６０人としましょう、そこに３組の同じ誕生日の人がいる確率はどのくらいですか？

数学が苦手な私にも分かるように説明付きでお答え頂けるとうれしいです : - )

回答No.5

zhidao · ベストアンサー

訂正と追加

訂正
×：(60!/365^60)*Σ[k=3,20]C(365,k)*(1+x)^(365-k)*(f(x))^k
○：(60!/365^60)*Σ[k=3,30]C(365,k)*(1+x)^(365-k)*(f(x))^k

追加
求める確率は、
(60!/365^60)*Σ[k=3,30]C(365,k)*(1+x)^(365-k)*(f(x))^k
における x^60 の係数。この後の計算式は、

(60!/365^60)Σ[k=3,30]Σ[p=2k,60]Σ[j=0,k]Σ[i=0,j]C(365,k)*C(k,j)*(-1)^(k-j)*
(1/(p-k+j)!)*((-1)^i*C(j,i)*(j-i)^(p-k+j))*C(365-k,60-p)
=0.854393…

お礼

あっ・・・また全然理解不能になってしまいました（笑）
でも結論として、
＞６０人の中に同じ誕生日を持つ人が３組
というのは８５％以上の確率で起こること、ってことですね？
（要するにたいして不思議な状況じゃないわけですね！）
ーーー
回答頂いたみなさま、この場をお借りして、ありがとうございました！
日常の疑問が数学で解けるってなんだか本当に楽しいですね。
もう一度勉強したくなりました。

回答No.4

zhidao

＞質問２
＞これも実話なのですが、今働いているの会社の中に、同じ誕生日を持つ人が３組います。
＞社員数は６０人ほどなのですが、「ほど」だと計算できないから仮に６０人としましょう、
＞そこに３組の同じ誕生日の人がいる確率はどのくらいですか？

求める確率は、
(1/(365^60))*4669063837052906076527853089431094
01861942838371213471813942796502065773261622956
83211709274008803119386422133773800892586161818
86778926216639288411565040
=0.854393… (約85パーセント)

f(x)=Σ[k=2,60](x^k/k!) とおく。
求める確率は、
(60!/365^60)*Σ[k=3,20]C(365,k)*(1+x)^(365-k)*(f(x))^k
における x^60 の係数。

回答No.3

moumougoo

問題を勘違いしていました。
私ば求めたのは、何人いれば、365日全部の誕生日がそろうかということでした。ちなみに何人いればいいかというと、
Σ1/p_m(m=365～1までの和）≒2365人
ですね。

お礼

そうでしたか！？
違う計算だってことさえ分からなかったです（汗）
（本当に無知でスミマセン・・・）
でも、これも面白い数字ですね。
日常に起こることを計算出来るってなんだかとっても楽しいです＾＾

回答No.2

BookerL

とりあえず、質問１だけ。
　2/29日生まれは考えないとして。

　１人目の人がある誕生日です。
　２人目の人がこれと違う確率は 364/365
　３人目の人が初めの２人と違う確率は 363/365
　　：

　ということで、364!/365^364 になります。

　これはたぶん 1.5×10^-157 程度の大きさになりそうです。（0.0000……15 と157個ゼロが並ぶ）
　まあ、その確率は０といって差し支えないと思います。

お礼

わお！分かりやすいです！
なるほど、ほとんどゼロ、ということですね！

回答No.1

moumougoo

質問１についてです。
ランダムに誕生日が分布している集団の中から一人を選んだときに365日の中から選んだm日間のうちのどれかが誕生日である確率はp_m=m/365ですね。
逆数をとれば、m日の誕生日の人が現れるまでの人数の期待値になります。
（濃度p_m[g/little]の食塩水から1[g]の塩を得るためには1/p_m[little]の水があればよいのと同じです。より正確には
Σn(1-p_m)^(n-1) (p_m) = p_m(-∂/∂p_m)Σ(1-p_m)^n
=p_m(∂/∂p_m) 1/(1-(1-pm_m))=1/p_m
と求めるのかな）

したがって、まず365日のうちのどれか(m=365）、つぎにその日を除いた364日のうちのどれか(m=364),・・・最後の１日(m=1)までに必要な人数は
Σ1/p_m(m=365～1までの和）
となるかと思います。

お礼

わお。すごい。ありがとうございます・・・
でもすみません、無知すぎて計算出来るんだろうなーということしか
理解出来なかったです。