23人の誕生日が同じ確率はどの程度か

2014/05/01 23:59

このQ&Aのポイント

「23人のうち2人以上の誕生日が同じ確率」とは、「１－23人の誰も誕生日がかぶらない確率」である。よって、「2人以上の誕生日が同じである確率」は、1 － 0.49 ＝ 0.51、つまり約 51% である。
「1人目の人と2人目の人の誕生日が同じである確率」は、 1/365 ≒ 0.0027 である。この、「AさんとBさん」という組み合わせは、23人いれば 23 C 22 ＝ 253通り存在する。よって、2人の誕生日が同じである確率は、0.0027 × 253 ≒ 0.69、つまり約69% である。
23人の人がいる場合、2人以上の誕生日が同じである確率は約51%ですが、2人の誕生日が同じである確率は約69%です。これは、異なるアプローチで計算した結果の違いです。どちらも正しい計算方法ですが、全体の確率と組み合わせの確率とで考え方が異なるため、結果も異なります。詳しい解説をご希望の場合は、確率に詳しい方に相談してみることをおすすめします。

vbalab2
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数学・算数
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NNori
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2014/05/02 00:29 回答No.3

1は合ってるけど２は間違ってる簡単に言えば、確率を足すのはよほど考え抜かないといけない。独立してるなら足せるというのは間違い。例えばこの場合、５０人がいて2人以上の誕生日が同じである確率は、 50Ｃ2=1225 0.0027×１２２５＝3.3075 確率が１を超えるなんて変でしょ。じゃぁ考え方のどこが悪いのか？２３人だと難しいから３人にしてみる。 AさんとBさんが同じ確率＝1/365 BさんとCさんが同じ確率＝1/365 AさんとCさんが同じ確率＝1/365 これら３つを足すのが２の考えだけどAさんとBさんとCさんが同じ確率は引いてあげないといけません。２の考え方はそれを忘れているのだな。３人だから３人とも同じ確率を求めて引いてやればできるけど、２３人もいると無理ですね。３人が同じとか４人が同じとか2人同じが2組とかいろいろ引いてやらないといけません。なので、１．のように反対の事象を求めて１から引いてやらないと大変なことになってしまうのです。

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staratras
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2014/05/02 21:52 回答No.7

このような問題では人数を減らして考えると2つの解法で行うべき計算の違いがよくわかります。人数が2人の場合、2つの解法は実質的に同じです。なぜならば、2人の場合は「誕生日が同じ日か違う日か」の二者択一で、そのほかの場合はないからです。解法１，1-364/365=1/365 解法２．1/365×1=1/365 しかし人数が3人以上の場合、解法２は計算が複雑になります。解法１，1-(364/365)(363/365)=1093/365^2=1093/133225=0.008204165… 解法２, 3人のうち2人以上の誕生日が同じであるのは以下の２通り（1）3人とも同じ誕生日である場合　(1/365)^2=1/133225 （2) 3人のうち2人が同じ誕生日であり、残りの１人は違う場合　　　　　3・(1/365)・(364/365)=3・364/365^2=1092/13325　　　求める確率はこの和だから、1/133225+1092/13325=1093/133225=0.008204165… 当然のことながら、二つの解法の答えは一致します。この解法２を単純に1/365の３倍で3/365とするのは誤りです。なぜならば、3人をA,B,Cとすると、確かにAとB、BとC、CとAの誕生日が一致する確率はそれぞれ1/365ですが、これを単純に加え合わせるとA=B=Cの場合(上の解法２の(1)の場合)を3重にカウントしていることになるからです。これを差し引くと 3/365-(1/365)^2・2=(3・365-2)/365^2=1093/133225 でこの方法でも答えは一致します。

質問者

お礼 2014/05/04 09:35

回答をくださったみなさん、ありがとうございました。ベストアンサーを選択するのは迷ったのですが、最も早く、具体的な回答を頂戴した方にさせていただきました。staratras さんもとっても具体的な回答をくださったのですが、ごめんなさい。なるほど、よくわかりました。ありがとうございました。

at9_am
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2014/05/02 19:11 回答No.6

２の考え方も、間違ってはいないのですよ。問題は、例えばAさんとBさんとCさんが同じ誕生日の場合や、ふた組以上の同じ誕生日の人の組がある場合を二重にカウントしている、ということです。その分だけ大きくなるので１よりも2の方が確率が大きくなっています。因みに、3人以上の場合（3人、4人・・・23人）やふた組以上の場合（2組、3組・・・）、更にそれらの複合形（2人の組が一つと3人の組が一つ、など）を全部考えてカウントするのは困難です。

nacci2014
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2014/05/02 00:43 回答No.5

あ！ごめん分母が間違ってるわ分母365 分子23×22÷2 従って69.3％ダメかも

nacci2014
ベストアンサー率35% (200/569)

2014/05/02 00:35 回答No.4

自信ないけど書きますよ。設問における二人以上とは三人以上から二十三人同時までは常に二人以上同時に付属するものだから二人以上が同時になる確率を計算すればよいことになる。 ABが同時の時にABCも同時であっても結局は同じ誕生日だからその誕生日に何人同じ人がいようが二人同時の確率を考えればよいことになります。分母365×365 分子23×22÷2 ここで÷２を加えたのはABとBAは同じだからです従って答えは 0.1899％ではないかと思いますがいかがでしょうか？