数列の問題で

質問

３つの直線y=1/2x+1,y=1,x=nで囲まれた部分（境界を含む）にあるx座標、y座標が自然数である点の個数をSnとする。このときS2n,S2n-1を求めよ。

この問題誰か解けますか？なんとなく法則があるようなのですがいまいちピンとこずに悩んでます。お願いします！

回答No.3

mumchan

実際に数えてみれば，
1 3 5 8 11 15 19 24 29 35 ・・・

ここで，偶数項と奇数項に分けて並べると

{On}:1 5 11 19 29 ・・・ 　　，{En}:3 8 15 24 35 ・・・ (注：Odd , Even)
n-1
それぞれ，階差が等差数列であることから，an=a1+Σbk　を用いて
k=1

On=n^2+n-1 ，En＝n^2+2n (n=1,2,3,・・・) (n=1の吟味も忘れずに！)

ここで，S2n-1,S2nとは，n=1,2,3・・・と代入すると解るように
　　S1,S3,S5,・・・　　S2,S4,S6,・・・のことだから，
S2n-1＝n^2+n-1　,S2n＝n^2+2n (n=1,2,3,・・・)

回答No.2

teuu

ちゃんと図描いた？
どんな問題でも、めちゃくちゃ簡単な問題でも、
ちゃんと図は描かなきゃダメよ。

まず境界の直線を引きます。
次に、ｘ＝ｋごとに格子点の数を数えていきます。
ｘごとの格子点の数をakとします。
つまり、a0=1,a1=1,a2=2,a3=2,a4=3・・・ってなるよね。
で、Sn=(a0+a1+a2+a3+a4+・・・an)となります。
と、格子点の数は、
1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8となります。
a(2-1)=1,a(4-1)=2,a(6-1)=3,a(n-1)=n/2と奇数番目で、xの値の半分が格子点の数になっていることに注意。

あとは、ちょろっと計算するだけです。

xかyの片方の座標だけを固定して考えていくことを、
一文字固定法といいます。
これはかなり使えるテクニックです。

じゃあ受験テクなんでしょうか？
違います。
これは大学以降でならう偏微分というものの、
高校生向けバージョンです。

回答No.1

proto

y=1/2x+1
は
　y=(1/2)x+1
　y=1/(2x)+1
　y=1/(2x+1)
の3通りに読めます
この場合直線とあるのでy=(1/2)x+1だとわかりますが
回答者に理解のしやすい表記を心がけて下さい

さて、この問題は具体的にSnの一般項を求めることが出来るので
S[k]にk=2nやk=2n-1を代入して、式の整理をすれば簡単だと思います
もし質問者さんが中学生なら
Σの記号などは習っていないでしょうから難しいかも知れませんね
中学生でも理解出来るような考え方でヒントだけ書きます

さて、まず３直線のグラフを性格に書いてみて下さい
出来れば格子点を何個か打ってみるとわかりやすいかも知れません
この時直線で囲まれた領域は(0,1),(n,1),(n,n/2+1)を頂点とする直角三角形になりますね
適当なnを選んでS[n]のときとS[2n]のときの囲まれる部分に注目すると
二つの三角形は相似の関係になっていると思います
相似な図形の面積の関係などを思い出して見て下さい

次にS[2n-1]ですが
S[2n]-S[2n-1]を考えると
それは2n-1から2nに１だけ増えたときの点の数になりますよね
それを式で表して
　S[2n]-S[2n-1]=～
と書ければ、後は移項でS[2n-1]が求まります