空間ベクトルの問題です

質問

二直線ｌ：(ｘ、ｙ、ｚ)＝(－５、３，３)＋ｓ(１、－２、２)、m：(ｘ、ｙ、ｚ)＝(０，３，２)＋ｔ(３、４、－５)の交点の座標を求めよ。また、直線l上の点のうちで、原点に最も近い点の座標をもとめよ。ただし、ｓ、ｔ、は媒介変数とする。

この問題が分かりません。どうか宜しくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

前半）
交点では2直線の座標が一致するから
x=-5+s=3t …(1)
y=3-2s=3+4t…(2)
z=3+2s=-5t …(3)
(1),(2)をs,tの連立方程式として解けば
　s=2,t=-1　…(4)
(4)を(1),(2),(3)に代入して交点の座標を求めると
　(x,y,z)=(-3,-1,7)

後半)
原点から直線lに垂線OHを下ろした時、垂線の足Hが原点O(0,0)に最も近い点である。
Hは原点を通る直線:(x,y,z)=t(a,b,c)…(☆)と直線lが直交する時の交点であるから
直交条件：方向ベクトルの内積=0から
　a*1+b*(-2)+c*2=0
　a-2b+2c=0 …(4)
直交時の直線OH:(x,y,z)=t(a,b,c)とlの交点(x,y,z)は
　x=at=s-5 …(5)
y=bt=3-2s …(6)
z=ct=3+2s …(7)
(4)*tに(5)～(7)を代入
　s-5-2(3-2s)+2(3+2s)=0
　s=5/9…(8)
(8)を(5)～(7)を代入
　H(x,y,z)=(-40/9,17/9,37/9)

お礼

丁寧にありがとうございます