高校数学 積分

質問

全く歯が立たない問題に直面したので質問させていただきます。

nを自然数とする。座標平面上に曲線 Ｃ:Y=tanX (0≦X＜π/2)、直線 Ｌn:Y=(π/2-X)/n がある。
ＣとＬnとY軸によって囲まれる部分の面積をＳnとするとき、lim（n^2*Ｓn）を求めよ。

この問題が分からないので質問させていただきたいのですが、面積を求めようと思ったときに与えられたふたつの式の交点が求められません。どのようにしたら交点が出るでしょうか？
それとも交点を求めない何か他の方法があるのでしょうか？
ヒント・入り口等でも全くかまいませんので宜しくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

tanと直線の交点なんかが具体的に求まるわけがないです。
なんで、まあ、とりあえず、交点を(X, tanX）とでも置いてとりあえず、面積Ｓを計算してみるんでしょう。すると、多分、うまいこと行っちゃうんだと思います。なにしろ、（多分？）高校範囲の数学で答えがでるはずなんですから。

求めたい極限
lim（n^2*Ｓn）
ていう形からして、交点の細かな座標はうまいこと消えて、どうでもよくなりそうな感じはしますね。

お礼

返信ありがとうございます♪

なるほど。とりあえず置いてみるのですか。
試しにやってみたいと思います。

補足

補足のところにしか書けないのでこちらに失礼いたします。

計算したところＳn=-X^2/2n + πX/2n + log(cosX)となりました。しかしここから先はどうすればよいでしょうか；
ｎを∞にもっていってもＳnは∞になってしまって。。

お手数おかけしますが宜しくお願いします。

回答No.10

tecchan22

＃４，５です。
結局解けたんでしょうか？

＃４のような書き方は、かえって混乱させたかも知れませんね。
また解けてから、読んで下さい。

＃５のヒントは、分かりやすいと思ったのですが。

＃１の補足にあなたが書いているように、ＣとＬｎの交点のｘ座標をＸとすると、
＞Ｓn=-X^2/2n + πX/2n + log(cosX)
となったんですよね。
いいじゃあないですか！

そこで、Ｘ自体は求まらなくても、Ｘの満たすべき式は求めておく必要があるわけで、
（Ｘ,ｔａｎＸ）が、直線Ｌｎ上にあることから、
ｔａｎＸ＝（π／２－Ｘ）／ｎ　　・・・☆
つまり、
ｎ（ｔａｎＸ）＝π／２－Ｘ　　・・・★
が成り立つので、これを用いて、極限を求めるわけです。

まず、ｎ→∞のとき、Ｘ→０はいいですよね？（図から明らかですね？或いは☆において、ｎ→∞とすれば分かります）

そこで、
( n^2 ) Sn＝(-1/2)nX^2 + (π/2)nX - (n^2)log( cosX )　　・・・(1)
ですから、

まず nX の極限を求めると、
lim ( nX )＝lim ( ntanX )( X/tanX )
＝lim ( ntanX )( X/sinX ）cosX
＝lim ( π/2-X ）( X/sinX )cosX　　（★より）
＝π/2　　（ｎ→∞のとき、Ｘ→０より）
が出ます。
よって nX^2→０であり、
(1)の第一項→０，第二項→（π/2）^2　　・・・(2)
となるわけです。

あとは第三項で、これが曲者ですね。
回答者たちがみな工夫している所です。

これは、高校の範囲では、直接相手にしない方が賢明でしょう。
（大学一年生になれば、簡単に出ます）
そこで、この値（ log( cosX ) )の出所をさかのぼってみると、
∫tanX dx　（積分範囲は、０～Ｘ）
だった訳ですよね。（この値をＳとおきます。つまりＳ＝log(cosX) ）
だから、この値Ｓを、もっと分かりやすい値ではさんでしまおうという訳です。
ｙ＝tanｘ において、原点で接線を引くと、ｙ＝ｘ ですから、
点Ａ（Ｘ，ｔａｎＸ）とし、Ｂ（Ｘ，Ｘ），Ｃ（Ｘ，０）とすると、
ｙ＝tanｘ（０≦ｘ＜π／２）のグラフが下に凸であることから、
△ＯＢＣ＜Ｓ＜△ＯＡＣ
この辺辺にｎ^２をかけて、はさみうちから、ｎ^2Ｓの極限が出るわけです。
これは自分でやってみましょう。
結果は、ｎ^2Ｓ→(1/2)(π/2)^2
になりますね。
つまり、(1)の第三項→－(1/2)(π/2)^2　・・・(3)
です。
よって、(1)，(2)，(3)から、求める極限値＝(π/2)^2－(1/2)(π/2)^2＝(1/2)(π/2)^2 ＝π^2/8
です。

結局ほとんどやってしまいましたが、一言注意。回答が分かりにくくても、何らかの反応をすること。放置するのは、マナー上良くないですよ。

反応がないと、いつまでも気になるし、こちらも対応のしようがないですから。

では、受験勉強頑張って下さい。

お礼

放置してしまい本当に申し訳ありません。かなり時間が経ってしまいました。。
言い訳になってしまいますが、受験勉強のためパソコンをつけることができなかったのです；

時間がないので申し訳ないですがまとめてお礼させていただきます。みなさんのご意見には全て目を通させていただきました。色々な視点から見れたので本当に助かりました♪
解けたのもほとんどみなさんのおかげです。

それでは本当にすみませんでした。
有難う御座いました。

回答No.9

info22

#2,8です。
訂正です。

＞　ここで、第一項の計算は以下のようになります。
＞　(n^2)*log{cos(π/(2n))}
＞　=(n^2)*log{cos(π/(2n))}/{n^(-2)} 　←ロピタルの定理適用
　=log{cos(π/(2n))}/{n^(-2)} 　←ロピタルの定理適用

回答No.8

info22

#2です。
A#2の積分Snを実行すると
Sn=log(cos(a))+{a(π-a)/(2n)}
となりA#1の補足の
＞計算したところＳn=-X^2/2n + πX/2n + log(cosX)
と一致します。

一方
A#2で書いた
＞aとnの関係は
＞tan(a)={(π/2)-a)}/n → n={(π/2)-a)}/tan(a)
n>>1のときa<<1となる。
このとき　tan(a)≒a なる近似（マクローリン展開の第1項での近似）を使えば
an=(π/2)-a → a=(π/2)/(n+1)≒π/(2n)

従って
Sn*n^2=(n^2)*log(cos(a))+{an(π-a)/2}
=(n^2)*log{cos(π/(2n))}+(π/2)π{1-(1/2n)}/2
=-(π^2)/8 +(π^2)/4
= (π^2)/8　…（答）

ここで、第一項の計算は以下のようになります。
(n^2)*log{cos(π/(2n))}
=(n^2)*log{cos(π/(2n))}/{n^(-2)} 　←ロピタルの定理適用
→[{-sin(π/(2n))}{-(π/2)/(n^2)}/cos(π/(2n))]/{-2n^(-3)}
=-{(π^2)/8}[{sin(π/(2n))/(π/(2n))}/cos(π/(2n))]
→-{(π^2)/8}*1/cos(0)→-(π^2)/8　(n→∞)

回答No.7

uma_poteto

訂正です.
>ここで, 0<sin(x)<x<tan(x)(0, pi/2)が成立するので
>(sin(a)/sin(a))-cos(a)<(a/sin(a))-cos(a)<(tan(a)/(sin(a))-cos(a)
>i. e. 1-cos(a)<(a/sin(a))-cos(a)<sec(a)-cos(a)
>=(1-(cos(x))^2)/cos(a)=(sin(a))^3/cos(a)
の最後の式
(sin(a))^3/cos(a)
を
(sin(a))^2/cos(a)
に訂正です.すみません

回答No.6

uma_poteto

以下、解答になります。間違っているところに気がつかれた方が
いたらご指摘ください。*のあとに数字がついたものは
煩雑を避けるための脚注です.

C: y=tan(x), L_n: y=((pi/2)-x)/n
を考えます.
交点のx座標をa(0<a<pi/2)とします.
tan(a)=(1/n)*((pi/n)-a) i.e. n=(1/n)*((pi/n)-a)/tan(a)

y=tan(x)が下に凸なので(第2次導関数より確かめられます(*1))
(0, 0), (0, pi/2), (a, tan(a))で作られる3角形の面積よりS_nは
大きく(0, 0), (a-cos(a)*sin(a)), (a, tan(a))で作られる3角形の
面積より小さい(グラフで容易に確認できます).
(a-cos(a)*sin(a), 0)は点(a, tan(a))における
y=tan(x)の接線とy=0の交点です(*2)).
この2つの三角形の面積でS_nを挟む.後者の三角形の面積は,
(0, 0)と(a, tan(a))を通る直線で3角形を2つに分割して考える.
(pi/(2n))*a*(1/2)<S_n<(pi/(2n))*a(1/2)+(1/2)(a-cos(a)*sin(a))*tan(a)
⇔pi*a/(4n)<S_n<(pi/(4n))+(tan(a)/2)*(a-cos(a)*sin(a))

左辺にn^2を掛けたときの極限について, nにaの式を代入して
n^2*(pi*a/(4n))=pi*n*a=pi*(((pi/2)-a)/tan(a))*a
=(pi/4)*(a/tan(a))*((pi/2)-a)→(pi/4)+(pi/2)=(pi^2)/8
(n toinfinity)(∵n to infinity のとき a to +0)

右辺-左辺にn^2を掛けたときの極限について, 同様に代入して
(n^2)*(tan(a)/2)*(a-cos(a)*sin(a))=...
=(1/2)*(1/tan(a))*(((pi/2)-a)^2)*(a-cos(a)*sin(a))
=(1/2)*(cos(a)/2)*(((pi/2)-a)^2)*((a/sin(a))-cos(a))

ここで, 0<sin(x)<x<tan(x)(0, pi/2)が成立するので
(sin(a)/sin(a))-cos(a)<(a/sin(a))-cos(a)<(tan(a)/(sin(a))-cos(a)
i. e. 1-cos(a)<(a/sin(a))-cos(a)<sec(a)-cos(a)
=(1-(cos(x))^2)/cos(a)=(sin(a))^3/cos(a)
はさみついの原理から
lim[a to +0](a/sin(a))-cos(a)=0

n^2(左辺-右辺)の式に戻って
lim[n to infinity, a to +0](1/2)*(cos(a)/2)*(((pi/2)-a)^2)*((a/sin(a))-cos(a))
=(1/2)*(1/2)*(((pi/2)-0)^2)*0=0
よってn to infinity のとき(n^2)*S_nを挟んだ両辺は等しい
以上とはさみうちの原理から
lim[n to infinity](n^2)S_n=((pi)^2)/8である

*1
y=tan(x), dy/dx=(sec(x))^2, (d^2)x/(dy)^2=sin(x)*(sec(x))^3
(0, pi/2)ではsin(x)もsec(x)=1/cos(x)も0より大きいので
第2次導関数はこの範囲で0より大きくyは下に凸

*2
y=tan(x), dy/dx=(sec(x))^2
接線は
y=((sec(a))^2)*(x-a)+tan(a)
Y=0を代入して両辺に(cos(x))^2を掛けて
0=(x-a)+cos(x)*sin(x)

tan(x)～xから(pi/2)^2の答えを予想していたので意外です

回答No.5

tecchan22

＃４です。

●訂正
(1)πの二乗がぬけていましたね。π^2/8でした。
(2)最後の方、αはＸのミスプリです。

＃３の人も似たようなことを言うとらはりますね。

＃１の補足に対して書きますが、
ｎ→∞のとき、Ｘ→０に注意してください。
（＃４に書いたように、nX→π/2が示せます）
そして、n^2log(cosX)の極限は面倒くさそうなので、－log(cosX)の代わりに、
Ａ(X,0)B(X,tanX)B'(X,X)として、
△ＯＡＢ’と△ＯＡＢではさむといいですよ。

以上、ヒントでした。

回答No.4

tecchan22

大雑把な話を書きますね。

ｎが大きいとき、Ｘは０に近いですよね。
だから、Ｘ～sinＸ～tanＸな訳です。
～は、Ｘ≒０で大体等しいことを表します。正確に言うと、f(x)～g(x)は、lim(x→0)g(x)/f(x)＝１を表します。

Ａ(X,0)Ｂ(X,tanX)Ｃ(π/2,0)のつくる三角形から、
tanX＝(π/2-X)/n　(＃２の人も書いてますね）
tanX～X,π/2-x～π/2より、
X≒π/2n・・・(1)
を得ます。（ここが大雑把）

Ｄ(0,π/2n)として、
Ｓｎ≒△ＯＢＤ　（ここも大雑把）
＝(π/2n)X/2
≒(π/2n)^2/2　（(1)より）
＝π/8n^2
よって、n^2Sn→π/8
を得ます。

正確には、もっとキチンとやらんといかんですね。
しかし、ちょっとヒントにはなると思います。（上のことからnα→π/2を示せますね）
出来ないようでしたら、またヒントを出しますね。

回答No.3

noname#44733

その部分はｎ→∞のとき、直線はｘ軸に近くなり、ｘ＝０付近だけが問題になります。よって曲線Ｃのかわりに直線ｙ＝ｘで計算すれば良いと思います。（おそらく正式ではないと思いますが。）
直線ｙ＝ｘと直線Ｌｎとｙ軸に囲まれる面積は（２直線の交点のｘ座標が1/(n+1)・π/2となるので）1/n(n+1)・(π/2)^2
・・求める極限は(π/2)^2
たぶんこうなります。

回答No.2

info22

limのnは書いてないけど
n→∞ですか？

交点を(a,tan(a))とすれば
Sn=[a*tan(a)-∫[0,a] tan(x) dx]
+a{(π/(2n))-tan(a)}-∫[0,a](x/n)dx
で求まります。
aとnの関係は
tan(a)={(π/2)-a)}/n → n={(π/2)-a)}/tan(a)
です。