数Ｂ数列の問題

質問

解説をお願いしますm(_ _)m

数直線上で、座標が(-2)^(n-1) (nは自然数)である点をAnとおく。
秒速1で動く点Pは、原点Oを出発してO→A1→A2→A3→...と数直線上を最短距離で止まることなく移動していく。
Pの座標をpとおき、Sを次のように定める。
S=(p≧0であった時間の合計)-(p≦0であった時間の合計)
PがAnで折り返すときに時間はかからないものとするとき、次の各問いに答えよ。
(1)PがOを出発したあとで、n回目にOを通過するときのSの値をa[n]とおくとき、
(i)a[2],a[3]を求めよ。
(ii)a[n+1]をa[n]で表し、a[n]を求めよ。
(2)Sがはじめて1000秒になるのはPがOを出発してから何秒後か。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

(1)
(i)
a[2]=-2
a[3]=6
(ii)
a[n+1]=a[n]-(-2)^{n+1}
だから
b[1]=a[1]
b[n]=a[n]-a[n-1]=-(-2)^n,(n≧2)
とすると
a[n]=Σ_{k=1～n}b[k]
a[n]=[(-2)^{n+1}+2]/3
(2)
|a[n]|≦1000≦a[n+1]
となるnは

a[10]={(-2)^{11}+2}/2=(2-1024*2)/3=-682
a[11]={(-2)^{12}+2}/3=(2048*2+2)/3=1366
だから
n=10

a[10]
=Σ_{k=1～10}b[k]
=2Σ_{k=0～9}(-2)^k
だから
10回目に0を通過するとき
p≧0であった時間の合計
t1=2{1+(-2)^2+(-2)^4+(-2)^6+(-2)^8}
p≦0であった時間の合計
t2=2|(-2)+(-2)^3+(-2)^5+(-2)^7+(-2)^9|
だから
t1+t2秒後に10回目に0を通過する

t1+t2
=Σ_{k=1～10}|b[k]|
=2Σ_{k=0～9}2^k
=2{(2^{10})-1}=2*1023=2046
だから
2046秒後に10回目に0を通過しS=-682となる
その後Sが増加して1000となる時は
その後1000+682秒後になるから
2046+1000+682=3728
だから
∴Sが1000秒になるのは
3728秒後

回答No.1

muturajcp

(1)(i)
A1=1
a[1]=2
A2=-2
だから
a[2]=2-4=-2
A3=4
だから
a[3]=8-2=6
(ii)
a[n+1]=a[n]-(-2)^{n+1}
だから
b[1]=a[1]
b[n]=a[n]-a[n-1]=-(-2)^n,(n≧2)
とすると
b[n]は初項2公比-2の等比数列だから
a[n]
=Σ_{k=1～n}b[k]
=2Σ_{k=0～n-1}(-2)^k
=2{1-(-2)^n}/3
=[(-2)^{n+1}+2]/3
(2)
|a[n]|≦1000≦a[n+1]
となるnは

a[10]={(-2)^{11}+2}/2=(2-1024*2)/3=-682
a[11]={(-2)^{12}+2}/3=(2048*2+2)/3=1366
だから
n=10

a[10]
=Σ_{k=1～10}b[k]
=2Σ_{k=0～9}(-2)^k

Σ_{k=1～10}|b[k]|
=2Σ_{k=0～9}2^k
=2{(2^{10})-1}=2*1023=2046

2046+1000+682=3728
∴Sが1000秒になるのは
3728秒後

補足

(2)のn=10を求めた後の部分が
よく理解できないので
もう少し解説を加えていただけませんか？お願いしますm(_ _)m