線形代数の1次独立・従属問題

質問

命題「u1,u2,・・・umの中に零ベクトルがあれば、u1,u2,・・・umは1次従属」の正否を調べる問題です。解答は、「例えば、u1=0ならば、1u1+0u2+0u3+・・・+0um=0は自明でない1次関係を与えるからu1,u2,・・・umは1次従属」となっています。

m次元の空間を考えた時に、u1=0であっても、他のベクトルは全て独立になるので、1次独立であると思いますが。考え方がよく分かりません。

「自明」の意味が、u2,u3,・・・が独立でも、例えば、u2=v2+u1と書けるという意味でしょうか。u1が決まっても、u2は決まらないと思いますが。

よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

x1*u1+x2*u2+…+xm*um=0
ならば
x1=x2=…=xm=0
となる
時

u1,u2,…,um
は
1次独立
といいます

u2,…,um
が
1次独立
(
x2*u2+…+xm*um=0
ならば
x2=…=xm=0
)
であっても

u1=0
ならば
x1=1
x2=x3=…=xm=0
とすると
x1*u1+x2*u2+x3u3+…+xm*um
=1*0+0*u2+0*u3+…+0*um
=0
だけれども
x1=1≠0
だから
x1=x2=…=xm=0とならないので
u1,u2,…,um
は
1次独立ではありません。

自明とは
係数がすべて0の時
x1=x2=…=xm=0
の時
x1*u1+x2*u2+x3u3+…+xm*um
=0*u1+0*u2+…+0*um=0
になる
すべて0をかければ0になる
という事を自明な1次関係といいますが

x1だけ1で他は0の時
x1=1,x2=…=xm=0
の時
x1*u1+x2*u2+x3u3+…+xm*um
=1*0+0*u2+…+0*um=0
は
自明でない1次関係といいます

お礼

jcpmuturaさま
丁寧な説明有難うございます。
よく分かりました。