数学・組み合わせ教えてください

質問

1～9までの自然数から、異なる2つの数を選んで並べたとき
（１）奇数は何個できるか?
（２）３の倍数は何個できるか?

（１）の方は、1の位：奇数（5個）、10の位：1の位に入る奇数以外（8個）
よって、5×8＝40　Ａ、40個になると思うのですが、（２）のほうがいまいちやり方がわかりません。教えてください。

回答No.11

Quattro99

既出の回答と内容的には同じなのですが。

3の剰余系（3n、3n+1、3n+2）で分類すると、9つの繋がった自然数ですから、3つずつに分かれます。
1の位と10の位を足して3nになればよいので、
(1)1の位が3n→10の位も3nなので3P2
(2)1の位が3n+1→10の位は3n+2なので3*3
(3)1の位が3n+2→10の位は3n+1なので3*3
合計24通り。

※剰余系の表現の仕方がよくわからないので、書き方が良くないかも知れません。

回答No.10

quads

本当にゴメン。
答え26じゃなくて『24』。

回答No.9

quads

＞以上をまとめて、3×3－3＝26個
訂正：【以上をまとめて、3×3×3－3＝26個】

＞ここで、1の位と10の位の数字は同じであってはいけないので、3×3－3個
これは、1の位が3,6,9のいずれかのとき、10の位は3,6,9のいずれかであればよいので3×3個
この行だけにかかっています。

連投失礼。

回答No.8

quads

とりあえず式にするなら…。

2桁の数が3の倍数となるには、
1の位が1,4,7のいずれかのとき、10の位は2,5,8のいずれかであればよいので3×3個
1の位が2,5,8のいずれかのとき、10の位は1,4,7のいずれかであればよいので3×3個
1の位が3,6,9のいずれかのとき、10の位は3,6,9のいずれかであればよいので3×3個
ここで、1の位と10の位の数字は同じであってはいけないので、3×3－3個

以上をまとめて、3×3－3＝26個

みたいな感じになるのかな。
変に式だけで表そうとすると、その式が何の意味を持つのか分からなくなってしまうので、ある程度説明が必要かもしれません。

Xの10の位をa、1の位をbとすると、
X = 10a+b
X = 9a+(a+b)
★ a+b = 3k (kは自然数)と表せるならば、
X = 9a+3k
X = 3(3a+k)
∴X は 3の倍数となる。

★が成立すれば X が3の倍数となります。
よって各桁の総和が3の倍数なら、その値も3の倍数となります。
（3と9の倍数判定法）

回答No.7

noname#80434

No.2です。再び失礼します。

＞はい、それはわかります。たとえば、７２は７+２＝９ということですよね？では、それを式で表すとしたらどのようになるのでしょうか？
ひょっとして解き方は既にご存知で、「記述式での答え方」をお聞きになっているのでしょうか？

だとすると、下手に数式で記述するよりも、文章で記述して最後に羅列もしくはNo.6さんのようなことを書いて答え「何個」という風に書けばよろしいのではないでしょうか。
そもそもこの分野は問題集の回答でも数式ではなく文章で説明しているものも多いですよ。

補足

答えはすべて書き出せばわかりますよね。そうです、記述式での答え方がしりたいのです。説明不足で申し訳ございません。

回答No.6

housyasei-usagi

先に出ました３の倍数の特徴を考えて，

（１）　１，４，７と２，５，８からそれぞれ１個ずつ選ぶと３の倍数になる。

（２）　３，６，９はその中の２つで３の倍数となる。

と考えても出来ます。

回答No.5

postro

1の位：１のとき　10の位：２，５，８
1の位：２のとき　10の位：１，４，７
1の位：３のとき　10の位：６，９
1の位：４のとき　10の位：２，５，８
1の位：５のとき　10の位：１，４，７
1の位：６のとき　10の位：３，９
1の位：７のとき　10の位：２，５，８
1の位：８のとき　10の位：１，４，７
1の位：９のとき　10の位：３，６
合計２４
ってもれなく数える！！

回答No.4

revolution_2005

３の倍数になるには、１０の位の数字＋１の位の数字＝３の倍数になります。

１０の位が１の場合足して３になるには２、５、８の３つ。
１０の位が２の場合足して３になるには１、４、７の３つ。
・・・・と繰り返していけば求まります。

この場合は、９９まであり、しかし異なる数字なので３３、６６、９９の三つは省きます。また、０がないので、３０、６０、９０も省かれます。あとは、計算してみてください。

３桁でも、１００の位の数字＋１０の位の数字＋１の位の数字＝３の倍数ですし、４桁であってもまた同じように桁数分増やしていけば良いだけです。

ただ、２桁の場合は普通に列挙してみた方が早いでしょう。１～１００までの３の倍数は３３個しかないですし、そのうち１０以下のものと、ぞろ目、０が入ったのを省くだけですから。

回答No.3

a-yoshi

>（２）３の倍数は何個できるか?
→1の位と10の位を足し算した値が3の倍数だと、元の数値も3の倍数になるらしい。
　ですので、1の位が
1としたら、10の位は、2,5,8の3つ
2としたら、・・・

という感じで頑張ってくださいませ。

回答No.2

noname#80434

数学嫌いの僕のやり方なので、間違っているかもしれませんが…。

2桁の数字が3の倍数ということは、1の位と10の位の数を足せば、3の倍数になると言うことですね。で、1～9までの自然数なら、異なる2数の和が3の倍数なのは３，６，９しかないです。

と、こんな感じで解けば良いと思います。
もっと手際の良い方法があれば、僕も知りたいです。