中２ 式の計算 説明問題についてです。

質問

何問か解けないのでお願いします。

(1)十の位の数が０でない３桁の自然数がある。この自然数の百の位の数と、一の位の数を入れかえた３桁の自然数をつくる。もとの自然数から入れかえた自然数をひいた数は、９０で割り切れることを説明しなさい。

(2)２桁の整数Aの一の位の数が、十の位の数の２倍ならば、この整数Aは、１２で割り切れることを説明しなさい。

(3)十の位の数と一の位の数の和が３の倍数である２桁の整数は３の倍数になることを説明しなさい。

お手数ですが、よろしくお願いします(>_<)

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞(1)十の位の数が０でない３桁の自然数がある。この自然数の百の位の数と、一の位の数を入れかえた３桁の自然数をつくる。
＞もとの自然数から入れかえた自然数をひいた数は、９０で割り切れることを説明しなさい。
百の位の数ｘ，十の位の数ｙ，一の位の数ｚとおくと、
もとの自然数：１００ｘ＋１０ｙ＋ｚ
入れかえた自然数：１００ｚ＋１０ｙ＋ｘ
（１００ｘ＋１０ｙ＋ｚ）－（１００ｚ＋１０ｙ＋ｘ）
＝１００ｘ＋ｚ－１００ｚ－ｘ
＝９９ｘ－９９ｚ
＝９９（ｘ－ｚ）
ｘ－ｚは整数だから、９９（ｘ－ｚ）は９９の倍数。だから、９９で割り切れる。
よって、もとの自然数から入れかえた自然数をひいた数は、９９で割り切れる。

＞(2)２桁の整数Aの一の位の数が、十の位の数の２倍ならば、この整数Aは、１２で割り切れることを説明しなさい。
十の位の数をｘとすると、一の位の数は２ｘ
Ａ＝１０ｘ＋（２ｘ）
＝１２ｘ　
ｘは整数だから、１２ｘは１２の倍数。だから１２で割り切れる。
よって、２桁の整数Ａは１２で割り切れる。

＞(3)十の位の数と一の位の数の和が３の倍数である２桁の整数は３の倍数になることを説明しなさい。
十の位の数を３ｍ，一の位の数を３ｎ（ｍ，ｎ整数）とすると、
（３ｍ）×１０＋（３ｎ）
＝３×１０ｍ＋３×ｎ
＝３（１０ｍ＋ｎ）
１０ｍ＋ｎは整数だから、３（１０ｍ＋ｎ）は３の倍数。
よって、十の位の数と一の位の数の和が３の倍数である２桁の整数は３の倍数になる。

（１）はこのままだと９９の倍数になると思うので、問題を確認して下さい。
違ってたら、教えて下さい。

お礼

ありがとうございます！！
(1)番の問題は出題者の間違いだと思います。

ご丁寧に回答していただき、助かりました

回答No.2

ferien

問題の条件をよく見てなくて、（済みません）
「十の位の数と一の位の数のそれぞれが３の倍数である」と勘違いしていたので
以下のように訂正をお願いします。

＞(3)十の位の数と一の位の数の和が３の倍数である２桁の整数は３の倍数になることを説明しなさい。

十の位の数をｍ，一の位の数をｎとすると、
十の位の数と一の位の数の和が３の倍数だから、ｍ＋ｎ＝３ｋ（ｋは整数）とおける。

これから、ｎ＝３ｋ−ｍ
１０ｍ＋ｎ
＝１０ｍ＋（３ｋ−ｍ）
＝９ｍ＋３ｋ
＝３（３ｍ＋ｋ）
３ｍ＋ｋは整数だから、３（３ｍ＋ｋ）は３の倍数
よって、十の位の数と一の位の数の和が３の倍数である２桁の整数は３の倍数になる。

お礼

確認していただきありがとうございます！
なんて優しいのでしょう。

助かりました。