数学の問題が分からないので、教えてください！

質問

数学の問題が分からないので、教えてください！

自然数Nは30の倍数である。
　U=｛xは1以上N以下の奇数｝、
　A=｛x∈U，xは3の倍数｝
　B=｛x∈U，xは5の倍数｝
とし、集合U,A,B,A∩Bの要素の個数をそれぞれUn、An、Cnと表す。

(1)Un,An,Bn,CnをNを用いて表せ。
(2)N以下の素数の個数をPnとするとき、不等式
　　　Pn≦Un-An-Bn+Cn+2　　を示せ。
(3)　(2)のPnについて　Pn/N≦1/3　を示せ。

（１）はなんとか解けそうなんですが、（２），（３）は全くだめで・・・。
解き方の過程も詳しく教えていただけたら嬉しいです。
お願いします(>_<)！

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

(2)　N以下の素数には2,3,5,7,11,・・・とあります。
　　これは　偶数の2と、奇数のうち次の除外したものになります。
　　　1,「3以外の3の倍数」,「5以外の5の倍数」,「7以外の7の倍数」,「11以外の11の倍数」,・・・

　　このうち7以上の素数については無視すると、Pnの上限値を次のように考えることができます。
　　　Pn≦(2の個数)+(奇数の個数)-(1の個数)-[{(3の倍数の個数)-(3の個数)}+{(5の倍数の個数)-(5の個数)}-(15の倍数の個数)]
　　　　=1+Un-1-{(An-1)+(Bn-1)-Cn}
　　　　=Un-An-Bn+Cn+2

(3)　Un=N/2, An=N/6, Bn=N/10, Cn=N/30 ですので、(2)で示した不等式に代入すると次式を得ます。
　　　Pn≦4N/15+2
　　∴Pn/N≦4/15+2/N≦4/15+2/30=1/3　（∵　N≧30 ）

　ちなみに、この不等式は　１～３０までの素数が2,3,5,7,11,13,17,19,23,29の10個しかないことからも示すことができます。

お礼

とても分かりやすく説明してくださって、ありがとうございます(＾_＾)

回答No.2

B-juggler

失礼します。

えっと、こういうのはあまり良くありません。

いわゆる「丸投げ」ですよ。

ご自分が解けたところまでは、少々長くなっても書いてみてください。

（１）が分かっているかどうかで、全くこちらの回答の仕方が変わることを

理解してくださいね。

Ｕｎについて考えてみると、３０までに含まれる奇数（Ｎ＝３０のとき）、
６０までに含まれる奇数（Ｎ＝６０のとき）・・・・と続きますから、

Ｕｎ＝１／２　×　Ｎ

こういう風に考えていけますか？

まずそこまで書かれてみてくださいね。　答えだけお教えしても、

誰の得にもなりません。むしろ、あなたが損をされます。

いちおう、（２）のヒントは、小さい順に考えていく。

こういう問題の常套手段です。　Ｎ＝３０から考えてみればいいんですよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

そうでしたね。。
ご指摘ありがとうございます。
長くなってはいけないと思って書かなかったんですが、、以後気をつけます。

ちなみに、私は（１）はこう解きました。

　Uは奇数だから、 2n-1=N-2 ∴n=N/2
　よってU= {x=2n-1 , 1≦n≦N/2}
　なので、Un=N/2

同様にして、3(2n-1)=N-3 ∴n=N/6
よってA= {x=3(2n-1) , 1≦n≦N/6}
∴An=N/6

・・・というように考えたんですが、答えは合っているものの自信はないです。

回答No.1

Tacosan

たぶん「正確な解答」としては「n と N の関係が分からないので答えられない」ということになるんだろう.
1億歩譲って「n と N は同じもの」とすると.... 「エラトステネスのふるい」が分かっていれば (2) も (3) も簡単なはず. というか, (3) は (2) と関係なく示せる.