極限

質問

r|<1のときΣ(∞　n=1)ｎ＊ｒ＾(n-1)について教えてください

Tn=Σ(∞　k=1)k＊ｒ＾(k-1)とおくと

両辺にrをかけると

rTn=Σ(∞　k=1)k＊ｒ＾kになります。
このあと

Tn-rTnにすろとき

Σ(∞　k=1)k＊ｒ＾(k-1)　　- Σ(∞　k=1)k＊ｒ＾ｋ
からどのように求めるかわかりません。

回答No.2

shibainumodoki

まず、Ａk=n・r^(k-1) とおいて、Ａkの第n項までの部分和　Ｔn=Σ(k=1からk=n) を求めて n→∞にします。
　Ｔn=1+2r+3r^2+・・・+nr^(n-1)
　rＴn=r+2r^2+3r^3+・・・+(n-1)r^(n-1)+nr^n
よって　(1-r)Ｔn=1+r^2+r^3+・・・+r^(n-1)-nr^n
　より　(1-r)Ｔn=(1-r^n)/(1-r) -nr^n
　　　　Ｔn=(1-r^n)/(1-r) ^2 -nr^n/(1-r)
あとは |r|<1 を用いて　n→∞にしましょう。
　Ｔ=Ｔn(n→∞)=1/(1-r)^2　では？

回答No.1

endlessriver

Tn=Σ(k=1,n)k＊ｒ＾(k-1)とおくと
=1+Σ(k=2,n)k＊ｒ＾(k-1)
rTn=Σ(k=1,n)k＊ｒ＾k ={Σ(k=2,n)(k-1)＊ｒ＾(k-1)}+nr^n
Tn-rTn =1+{Σ(k=2,n)ｒ＾(k-1)} - nr^nになります。
したがって、等比級数の和の公式を使うと
(1-r)Tn={Σ(k=1,n)ｒ＾(k-1)} - nr^n
={(1-r^n)/(1-r)} - nr^n

Tn={(1-r^n)/(1-r)^2} - nr^n/(1-r)
となります。

Σでかくとわかりにくいので
Tn=1+2r+3r^2+...　　+nr^(n-1)
rTn= r+2r^2+...+(n-1)r^(n-1)+nr^n
とすると見やすいかな。