極限のもんだいです。（訂正）

質問

正数からなる数列｛a_n｝が条件Σ（ｎ,k=1)a_k^2＝ｎ^2＋2nを満たしているとする。
数列｛（a_1＋a_2＋・・・＋a_n）/n^r}が収束する実数ｒの範囲を求めよ。また、収束する場合、その極限値を求めよ。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

http://okwave.jp/qa/q7882024.html の訂正ですね。
訂正箇所の指摘も含め、前の質問に解答しておきましたよ。

回答No.1

ereserve67

n≧2のとき

a_n^2=Σ（ｎ,k=1)a_k^2-Σ(n-1,k=1)a_k^2

=ｎ^2＋2n-{(n-1)^2+2(n-1)}

=n^2+2n-(n^2-1)=2n+1

n=1のとき

a_1^2=1^2+2・1=3

だからn≧1でa_n^2=2n+1．a_n>0であるから

a_n=√(2n+1)

このとき

A_n=（a_1＋a_2＋・・・＋a_n）/n^r

とおくと

n^{r-3/2}A_n=（a_1＋a_2＋・・・＋a_n）/(n√n)

=Σ_{k=1}^n√(2k+1)/(n√n)

=√2(1/n)Σ_{k=1}^n√{(k+0.5)/n)}

n^{r-3/2}A_n/√2=(1/n)Σ_{k=1}^n√{(k+0.5)/n)}

ｎ→∞のとき右辺は

∫_0^1√xdx=[(2/3)x^{3/2}]_0^1=2/3

に収束しますから，次の等式が成立します．

lim_{ｎ→∞}n^{r-3/2}A_n=2√2/3

これをみるとA_nのn≫1のときの振る舞いは

A_n≒(2√2/3)n^{3/2-r}

となりますから，A_n=（a_1＋a_2＋・・・＋a_n）/n^rが収束するのは

r≦3/2

・r=3/2のとき2√2/3に収束

・r<3/2のとき0に収束