漸化式の極限

質問

an+1=1/(an+r) (a1≠-r,rとa1は実数) この時のlim[n→∞]anについての問題があるんですが、
x^2+rx-1=0 の解をα,β(α<β)としたとき、
a1≠α,r>0の時
an→βと言うことを示したいのですが、
0<｜(an+1)-β｜=｜an+1｜｜β｜｜an-β｜
となり、今、α<-1<0<β<1なのでβ^n→0が使えるので｜an｜≦1を示すか、もしくは両辺同じ形の不等式にできたら証明出来るんですが…
実験したら、何回かやると｜an｜≦1になるんですが、a1によって何回になるかわからないのでできず、変形のほうはan+1=√｜(an+1)/an+r｜など考えてみたんですが…こちらもa1にだいぶ左右されます…

どうしたらいいですかね？

回答No.1

f272 · ベストアンサー

こういう問題の常套手段は以下の通り
a[n+1]-α=1/(a[n]+r)-α=(1-αa[n]-αr)/(a[n]+r)=(-αa[n]+α^2)/(a[n]+r)=-α(a[n]-α)/(a[n]+r)
a[n+1]-β=1/(a[n]+r)-β=(1-βa[n]-βr)/(a[n]+r)=(-βa[n]+β^2)/(a[n]+r)=-β(a[n]-β)/(a[n]+r)
でとする。
a[1]≠αかつr>0のときはa[n+1]≠αでありα<-1<0<β<1だから，両式の比をとると
(a[n+1]-β)/(a[n+1]-α)=(β/α)(a[n]-β)/(a[n]-α)
従って
(a[n]-β)/(a[n]-α)=(β/α)^(n-1)*(a[1]-β)/(a[1]-α)→0

a[1]≠αかつr>0でないときも同様にできる。

お礼

なるほど、a[n+1]-αも同時に考えることによって、1/(a[n]+r)が消せるんですね～
ということは、一般項も出せそうですね(すごく汚くなりそうだけど…)

ありがとうございました！

回答No.2

noname#201598

しらんけど
an+1
というのが
a[n+1]
なのか
a[n]+1
なのか

an+r
というのが
a[n+r]
なのか
a[n]+r
なのか

わかるように書いてくれ。