極限の問題です

質問

正数からなる数列｛a_n｝が条件Σ（ｎ,k=1)＝ｎ^2＋2nを満たしているとする。
数列｛a_1＋a_2＋・・・＋a_n/n^r}が収束する実数ｒの範囲を求めよ。また、収束する場合、その極限値を求めよ。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

(a_1+・・・+a_n)/n^r

=(n^2+2n)/n^r=n^{2-r}(1+2/n)

n≫1のときこれはn^{2-r}のようにふるまいますが，これが収束するためには

2-r≦0　（r>2のとき0に収束，r=2のとき1に収束）

そうでないなら∞に発散します．

こうして

『r≧2： r>2のとき0に収束，r=2のとき1に収束』

回答No.1

alice_44

数列 {a_n} は、条件 Σ[k=1からnまで]a_k = n^2+2n を満たしている
のかなあ？　また、{a_1＋a_2＋・・・＋a_n/n^r} が収束するとあるのは、
{(a_1＋a_2＋・・・＋a_n)/n^r} が収束するという意図ではないだろうか？

そうだとすれば、単に、lim[n→∞] (n^2+2n)/n^r が収束する r の範囲を
求めればよく、r ≧ 2 が答となる。この式のままでも、r の範囲は自明だが、
(n^2+2n)/n^r = {(n^2+2n)/n^2} n^(r-2) という変形が、役立つかも
しれない。r = 2 のとき極限は 1、r > 2 のとき極限は 0。