数列の極限値

質問

ａ＞１，ｋを自然数とするとき，次を示せ。
１．ｌｉｍ（ｎ→∞）ａ^ｎ／ｎ！＝０
２．ｌｉｍ（ｎ→∞）ａ^ｎ／ｎ＾ｋ＝＋∞

こういう問題を解く手順などがあれば教えてほしいです。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

1.m>aとなる自然数とするとn>>mにおいて
0<a^n/n!={a^m*a^(n-m)}/{m!*(m+1)*(m+2)*…*n}<{a^m/m!}*a^(n-m)/m^(n-m)={a^m/m!}*(a/m)^(n-m)
n→∞とすると前の{}は一定であり、0<a/m<1ですので後ろの部分は→0となります。

2.a=1+ε (ε>0)　と置き換えます。
a^n/n^k=(1+ε)^n/n^k
分子を二項定理を用いて展開します。n>>kとするとε^(k+1)の項をとると
(1+ε)^n/n^k>n!/{(n-k-1)!(k+1)!}*ε^(k+1)/n^k>(n-k)^(k+1)/(k+1)!*ε^(k+1)/n^k
となります。
n→∞　とするとkは定数ですからε^(k+1)/(k+1)!は定数であり、
(n-k)^(k+1)/n^k=(n-k)*(1-k/n)^k→∞　となります。

補足

n>>kの>>の符号の意味を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

rnakamra

#2のものです。

n>>kの>>の符号の意味を教えてください。よろしくお願いします。

n>>m　とはnがmよりもかなり大きい、ということです。

補足

回答有難うございます。

回答No.1

noname#224896

lim(n→∞)f(x)/g(x)=lim(n→∞)f’(x)/g’(x)を利用する．

（１）
(a^n)/(n!)

直感的には，
y=e^xと
y=ｘ！と，

ｘ→∞になる時，どちらが大きくなる比率が高いかということになります．
微分して，
ｙ’＝e^x，
ｙ＝ｘ（ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）（ｘ－４）（ｘ－５）（ｘ－６）・・・・・３・２・１より，
ｘの数が∞に近くなれば，それだけ，微分係数の値が大きくなることは明らかです．
ｙ’＝（ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）（ｘ－４）（ｘ－５）（ｘ－６）・・・・・３・２・１
　＋ｘ（ｘ－２）（ｘ－３）（ｘ－４）（ｘ－５）（ｘ－６）・・・・・３・２・１
　＋ｘ（ｘ－１）（ｘ－３）（ｘ－４）（ｘ－５）（ｘ－６）・・・・・３・２・１
　＋ｘ（ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－４）（ｘ－５）（ｘ－６）・・・・・３・２・１
　＋・・・
　＋・・・ずっと続く・・・
これと，ｙ’＝e^xという指数関数と比較すると，
確かに指数関数の増加する値は大きいですが，
ｙ’＝（ｎ！）’の値の方がｘ→∞にすると，ｙの値が遙かに大きくなります．
ゆえに，分子に比べて分母の方が増加する速さが遙かに大きくその値は無限大であるため，
ｌｉｍ（ｎ→∞）ａ^ｎ／ｎ！＝０
となります．

（２）
ｙ＝a^x
y=x^k

ｙ’＝(a^x)(loga)
ｙ’＝kx^(k-1)

a>1より，
指数関数とべき上関数とでは，ｘ→∞にすると，そのyの値の増加する速さは，比較にならない程、指数関数の方が遙かに大きく，＋∞に発散する．
すなわち，
ｌｉｍ（ｎ→∞）ａ^ｎ／ｎ＾ｋ＝＋∞
となる．

補足

ありがとうございます。
解答を眺めながらいろんな本を見てみたのですが，
y=e^xは分子のａ＾ｘのことでしょうか？
どうやって出てきたのでしょうか？
y=ｘ！は分母のことですよね。
ｙ’＝（ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）（ｘ－４）（ｘ－５）（ｘ－６）・・・・・３・２・１
　＋ｘ（ｘ－２）（ｘ－３）（ｘ－４）（ｘ－５）（ｘ－６）・・・・・３・２・１
　＋ｘ（ｘ－１）（ｘ－３）（ｘ－４）（ｘ－５）（ｘ－６）・・・・・３・２・１
　＋ｘ（ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－４）（ｘ－５）（ｘ－６）・・・・・３・２・１
　＋・・・
　＋・・・ずっと続く・・・
あと，この上の式ですが，＋がどんどん続いていっているのはどうしてなのでしょうか？
かなり，調べたのですが，分からないので教えてください。