極限値を求める問題です

質問

よろしくお願いします。
以下の問題を解いていたのですが、いまいち自信がありません。
また、(3)の問題の解き方がどうしてもわかりません。
わかる方、ご指導のほど、よろしくお願いします。

【問題】
()内の関数の定積分と関連されることにより、次の極限値を求めよ、

(1) lim[n→∞] {(1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(n+n)}
これを適用する→(1/1+x)

自分の答え
=lim[n→∞] (1/n){(1/(1+1/n) + 1/(1+2/n) + … + 1/(1+n/n)}
f(x)=1/(1+x), 1/n=hとおくと、
lim [n→0] h(f(h)+f(2h)+…+f(nh))
∫[0→1] 1/(1+x) dx = [log(x+1)](0→1)
=log(2)-log(1)=log(2/1)=log(2)

(2) lim[n→∞] {(n/n^2 + n/(n^2+1^2)+…+n/(n^2+(n-1)^2)}
これを適用する→(1/(1+x^2))

自分の答え
各項を、n/(n^2+k^2)=1/(1+(k/n)^2)*1/n (k=0,1,…,(n-1))と表す。
次に、n→∞の極限に移行して、
lim [n→∞] Σ 1/(1+(k/n)^2)*1/n
=∫[0→1] 1/(1+x^2) dx = [arctan(x)](0→1)
=[arctan(1)]-[arctan(0)]=π/4-0=π/4

(3) lim[n→∞] 1/(n^(a+1)) Σ[k=1→n] k^a
これを適用する→(x^a (a>0))

自分の答え
???

以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

過去の質問の駄目押しですね。
良回答で理解され解決したと思いましたが、それでも自信が無いようですね。
(1)
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4583522.html
>lim [n→0] h(f(h)+f(2h)+…+f(nh))
lim [h→0] h(f(h)+f(2h)+…+f(1))
他はOK

(2)
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4585847.html
>lim [n→∞] Σ 1/(1+(k/n)^2)*1/n
lim [n→∞] Σ[k=1,n] 1/(1+(k/n)^2)*(1/n)
=lim [h→0] h{1/(1+h^2)+1/(1+(2h)^2)+...+1/(1+(1)^2)}
f(x)=1/(1+x^2)と置くと
=lim [h→0] h{f(h)+f(2h)+...+f(1)}
>=∫[0→1] 1/(1+x^2) dx
以降OK

(3)ヒント
>lim[n→∞] 1/(n^(a+1)) Σ[k=1→n] k^a (a>0)
=lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1→n] (k/n)^a
f(x)=x^a,h=1/nと置くと
=lim [h→0] h{f(h)+f(2h)+...+f(1)}
=∫[0→1] x^a dx (a>0)

後は出来ますね。

お礼

いつも丁寧なご指摘、ありがとうございます。

>過去の質問の駄目押しですね。
そうなんです。
過去に教えていただいた問題の復習をしていたのですが、
見よう見まねで漠然と理解しているところもあり、
いまいち自信がなかったもので。。。

info22様の的確なアドバイスのおかげで、毎回大変助かっております。
ご面倒をおかけしますが、今後ともよろしくお願いします。