和分の公式

質問

和分について２点わからないところがあるので質問します。

下降階乗冪として、[n]r_ =n(n-1)(n-2)(n-3)・・・(n-r+1)・・・(1)
(1)に自然数kのとき関数f(k)に対して、差分1 f(k+1)-f(k)を計算すると、r[n](r-1)_ が得られ
[k]r_ の差分1とr[k](r-1)_ の両辺をΣ(k=0→n-1)をとると、Σ(k=0→n-1){[k+1]r_ -[k]r_ }=
rΣ(k=0→n-1)[k](r-1)_ となり。
左辺は([1]r_-[0]r_)+([2]r_-[1]r_)+([3]r_-[2]r_)・・・+([k-1]r_-[k-2]r_)+([k]r_-[k-1]r_)より、[k]r_-[0]r_となるので、[k]r_-[0]r_=rΣ(k=0→n-1)[k](r-1)ここからがわからない所です。
本では、上記の等式から-[0]r_を除き、r_を(r+1)_に書き換えて、
Σ(k=0→n-1)[k](r)=[n](r+1)_/(r+1)
が導かれたように書かれていたのですが、-[0]r_はなぜ除かれるのでしょう。
インターネットで調べたところ[0]r_は積分定数のようなものであり、
下降階乗冪の和分はべき乗の積分のよう。と書かれていました。
自分はr>0のとき、[0]r_=0(-1)(-2)・・・(0-r+1)＝0　r≦0のとき[0]r_計算できず。で[0]r_は消すことができると思いました。
次に上昇階乗冪として[n]r~=n(n+1)(n+2)(n+3)・・・(n+r-1)・・・(2)と書きます。
(2)に差分2 f(k)-f(k-1)を計算すると、r[n](r-1)~が得られ。
[k]r~ の差分2とr[k](r-1)~ の両辺をΣ(k=0→n)をとると,Σ(k=0→n){[k]r~-[k-1]r~}=
rΣ(k=0→n)[k](r-1)~　となり上記のような計算から、左辺は、[n]r~-[-1]r~となります。また本では、Σ(k=0→n)[k]r~=[n](r+1)~/(r+1)・・・(3)が導かれたように書かれていました。
ここでも自分は、[-1]r~は　r=1のとき-1、r>1 のとき -1×0×1×2×3 ・・・　×(-1+r-1)より0、r≦0のとき計算できない。しかしr=1のとき、(3)について{[n](1+1)~-[-1](1+1)~}/(1+1)は[-1]2~=0より[n]2~/(1+1)となり。
Σ(k=0→n)[k]1~=[0]1~+[1]1~+[2]1~・・・+[n]1~
=0+1+2・・・+n=n(n+1)/2と等しくなるので、(3)はr>0で成立すると思いました。

どなたか-[0]r_と-[-1]r~が消される理由が間違っていたら、訂正お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

見たところ，ちゃんとやっているようだから，問題ないんじゃないかな。

お礼

長い文章を読んで、お返事してくれてありがとうございます。