極限の問題なんですが

質問

極限値 lim[n→∞]{1√1+2√2+・・・+n√n}/(n^2*√n}
を求めよ。

という問題なのですが、√n=kとおいて
lim[k→∞]{√1^3+...+k^3}/k^5

としたとき、数列の和の公式に{1^3+...+k^3}={k(k-1)/2}^2
というのがあったと思いますが、これより　
lim[k→∞]{1^3+...+k^3}/k^5=0 で、
1^3+...+k^3}/k^5 > {√1^3+...+k^3}/k^5　から

lim[k→∞]{√1^3+...+k^3}/k^5=0

これを答えとしてよいのでしょうか？間違っていたら指摘してください

回答No.7

info22 · ベストアンサー

#4です。
高校数学で積分を始めて学習した時のことを思い出して下さい。f(x)のある区間[a,b]をn等分して、h=(b-a)/nと細長い長方形の棒に分割して足し合わせたもの
x=a+khの所の関数値f(a+kh)とすると
S1=Σ[k=0,n-1] h*f(a+kh)<S<Σ[k=1,n] h*f(a+kh)=S2
S=lim[h→0]S1=lim[h→0]S2=∫[a,b]f(x)dx
という定義でした。
h=1/n,a=0,b=1,f(x)=x^(3/2)とおいてやると
S2=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1,n](k/n)^(3/2)
　=lim[n→∞] {Σ[k=1,n] k^(3/2)}/n^(5/2)
となるわけですね。
積分の基礎（初歩）を覚えていれば直ぐ出来る問題でしたね。

> lim[n→∞]Σ[k=1,n]f(k/n)/n=∫[0,1]f(x)dx
としてよい、ということでしょうか？

途中の式を省略しないで積分の定義式に変形してから、定積分に書き換えてやり、定積分をして極限値の答えとすればOKです。

> ここで級数から定積分への変換をすればよいということであれば
そういう処理の仕方でOKですよ。

回答No.6

kumipapa

＞　無限級数から定積分に変換する、というのが本問のポイントだったのですね
せっかくですから、区分求積法（区分積分）、リーマン和（リーマン積分）を調べてみたらいかがでしょう。もう習われたのかもしれませんが。

回答No.5

ssmt_001

#1です.
ごめんなさい, 間違っていますね.
無限小を無限に足したらゼロ, というのは明らかにおかしいですね.
#2,3,4さんの仰るとおりだと思います. 勉強になりました.

回答No.4

info22

lim[k→∞]{1^3+...+k^3}/k^5…(A)
と
lim[n→∞]{1√1+2√2+...+n√n}/(n^2*√n}…(B)
とは等しくなりません。

数学ソフトを使って計算すると以下のように極限値が異なって出てきます。
(A)＝0
(B)＝2/5

変数置換で極限値が変化する事は以下の例からも分かるかと思います。
lim[n→∞]{1+2^(-2)+...+n^(-2)}=(π^2)/6　　…(C)
lim[k→∞]{1+2^(-4)+...+k^(-4)}=(π^4)/90　…(D)
lim[k→∞]{1+2^(-6)+...+k^(-6)}=(π^6)/945　…(E)
(C)と(D)の関係では n=k^2
(C)と(E)の関係では n=k^3
の関係にありますが極限値は一致しません。
変数置換をすると極限値が変化してしまうという事です。

> これを答えとしてよいのでしょうか？間違っていたら指摘してください
答となりません。
答は 「2/5」となります。

では極限値をどうして求めたらよいかのヒントを差し上げます。
与えられた極限値は関数y=f(x)=x^(3/2)のx=0～1までの定積分をあらわす式
I=∫[0→1] x^(3/2) dx=[(2/5)x^(5/2)] [0↑1]=5/2
の式に他なりません。x=0～1の区間をn等分して
h=1/nとして
I=lim[h→0]Σhf(kh)=lim[h→0]Σh(kh)^(3/2)
=lim[h→0]Σh(kh)^(3/2)=lim[n→∞]Σ{(k/n)^(3/2)}/n
=極限値の式
となりますね。ここでΣはk=1～nまでの和をとります。

お礼

回答ありがとうございます。定積分の形にするということですが、つまり
lim[n→∞]Σ[k=1,n]f(k/n)/n=∫[0,1]f(x)dx
としてよい、ということでしょうか？

（与式）＝lim[n→∞]Σ[k=1,n](k^3/2)/n^(5/2)
=lim[n→∞]Σ[k=1,n]{(k/n)^(3/2)}/n
ここで級数から定積分への変換をすればよいということであれば、
=∫[0,1]x(3/2)dx=2/5*x^(5/2)[0,1]=2/5
のように求めてみました。

級数から定積分への変換は重要ですね、大変参考になりました。

回答No.3

kumipapa

間違っています。0 にもなりません。
ヒントは　k√k/(n^2√n) = (1/n)(k/n)^(3/2)　と、「積分」です。

＞ 数列の和の公式に{1^3+...+k^3}={k(k-1)/2}^2
「1 から k まで連続する整数の3乗の和」ですね。
公式は 1^3 + 2^3 + ... + k^3 = {k (k + 1) / 2}^2　です。

＞ lim[k→∞]{1^3+...+k^3}/k^5=0 で、
求めるべき数列の分子の和は、
1√1 + 2√2 + ... + (n-1)√(n-1) + n√n
です。整数ではないものの和を求めなければならないのに、√n を何におきかえようが、整数の3乗の和の公式で求められること自体がおかしいと思いませんか？

お礼

そうですね、見直してみるとかなり無理がありました。
無限級数から定積分に変換する、というのが本問のポイントだったのですね。ご指摘ありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

ダメです.
足してる項数が, 全然足りていません.
ちなみにその極限は 0 になりません.

回答No.1

ssmt_001

okだとおもいます.
公式を使わなくても

(与式) = lim[n->∞] {1^(3/2)+...+n^(3/2)}/n^(5/2)
=lim[n->∞] {1^(3/2)}/{n^(5/2)}+...+{n^(3/2)}/{n^(5/2)}

となり, 最右辺の最後の項がゼロだということを考えれば,
(与式)=0
といえる.

と思います.