多様体の性質

質問

多様体の定義を位相空間Ｍが、数空間の開集合と位相同型であるような可算個の合併とします。

（ａ）多様体Ｍには、コンパクト集合列　　Ａ0、A1、A2、-----が存在して、
Ｍ＝∪Ａn、Ａn⊂Ａn+1゜　　　(゜：内点を意味)
　　　　n
（ａ）の事実を元に、
　Ｃn＝Ａn―Ａn-1゜、Ｏn＝Ａn+1゜―Ａn-2　　（ｎ＝０，１、２、-----）とおく
但しＡ-1＝Ａ-2＝Фとする。
このときＭ＝∪Ｃn、Ｃn⊂Ｏn　　が成立
　　　　　　　　n
(質問) Ｍ＝∪Ｃn　
　　　　　n
という証明がよくわからないのですが。

回答No.1

fsfs · ベストアンサー

（ａ）の状態をイメージすれば分かると思いますが。。

（１）ｘ∈Ｍならば、
Ｍ＝∪Ａnより、
ｘ∈Ａｍ　（あるｍがあって）
このとき次の２つの場合がある
（Ｉ）ｘ∈Ｃｍ、
（ＩＩ）ｘ∈Ｃｍではない
（ＩＩ）の場合、条件から、
ｘ∈Ａｍ-1゜⊂Ａｍ-1
よって、
ｘ∈Ａｍ-1
このとき次の２つの場合がある
（ＩＩ－Ｉ）ｘ∈Ｃｍ－１、
（ＩＩ－ＩＩ）ｘ∈Ｃｍ－１ではない
（ＩＩ－ＩＩ）の場合、上と同様に
ｘ∈Ａｍ－２。。。。。。
このように以下同様を繰り返すとある０以上の自然数ｋがあって、ｘ∈Ｃｋが成り立ちます。
よって、Ｍ⊂ＵＣｎが成り立ちます。
（２）ＵＣｎ⊂Ｍは明らか。
（１）と（２）から、Ｍ＝∪Ｃn　（おわり）

お礼

同様を繰り返すとある０以上の自然数ｋがあって、ｘ∈Ｃｋが成り立ちます。
確かに最後までこれが成りたたないとするとｘが空集合に属すことで矛盾となりますね、
明解なお答えありがとうございました。
解決要領はどんどん　たまねぎの皮をむくように頭の中ですすめることですね。
私も最初同じようなことをやりはじめてなぜか、そのときはめんどうな気きがしてわからなくなって途中でやめてしまいました。きちんと紙に順序よく記入していけば自ずと答えがでるようなり、同じようなことの訓練をつめばもっと理解がよくなるのかなと思いました。

ていねいな回答どうもありがとうございました。