開集合

質問

開集合は可算個の開区間の和で書けることの証明が知りたい
のですがどなたか式を使って示してもらえないでしょうか

回答No.6

kabaokaba

>どう判断しているのか知りませんが。

簡単ですよ．だれもあなたの頭の中や，
実生活の立場や周囲の環境はわかりません．
書かれていることだけしか見えません．
「証明が知りたいので示してください」
といい，思考の経過や背景を省略しているのを
「丸投げ」というのです．

>式を使ってというのは口頭の説明だけでは納得しない
>人達もいるからです。
というのであれば，あなたが納得させることができなかった
「口頭の説明」というのを書けばよいだけのことなのです．

閑話休題と修正．
>「実数の普通の位相での，任意の開集合は
>可算個の開集合の和集合で表わせる」
可算個の開区間の和集合で表わせる
ですね．間違えました．

それとNo.4さんの議論だと非有界な開集合というか
開区間に対しては問題が残りますね．
s,tが取れないケースが存在しますから．
もっともこんなのは本質じゃないですが．

実際，この問題の本質は
(0,1)に有理数は可算個しか存在しない
ということにすぎません．

回答No.5

koko_u_

>それとも簡単なので自分で考えよという意味でしょうか？
>ここはわからない問題を質問する場なのでしょう。
>上記の質問の意図がわかりかねます
簡単だよ～ん。という意味です。

わからない箇所が特定されていないので、それはすなわち丸投げということです。（丸上げじゃないよ）

補足

それなら直接そう書いていただければ結構。
嫌味ったらしく書く必要はございません。

回答No.4

zk43

Ｏを開集合とすると、Ｏの任意の点ｘは内点なので、ｘのある開近傍
（ｘ－ε、ｘ＋ε）はＯに含まれている。
ｘを動かして考えれば、Ｏ⊂∪（ｘ－ε、ｘ＋ε）
（ここに、εはｘに依存する。）
逆向きの包含関係は明らかだから、Ｏ＝∪（ｘ－ε、ｘ＋ε）
すなわち、Ｏは開区間の和集合として表せる。
問題は、この中から可算個を選べるかどうかである。
ｘ∈Ｏに対して、ｘを含む開区間で、Ｏ内に収まるような最大の開区間
を考える。
つまり、（ｘ－ｓ、ｘ]がＯ内に収まるような最大のｓ（正確には上
限）、[ｘ、ｘ＋ｔ）がＯ内に収まるような最大のｔを考える。
すると、Ｏは開区間（ｘ－ｓ、ｘ＋ｔ）の和集合になっている。
（もちろん、ｓ、ｔはｘに依存する。）
ここで、このような開区間全体の集合の中で、異なる２つの開区間、
（ｘ－ｓ、ｘ＋ｔ）と（ｙ－ｕ、ｙ＋ｖ）をとり、もし、この２つ
の開区間に交わりがあるとすると、ｘ、ｙを含む開区間でＯに含まれる
開区間の幅が（ｘ－ｓ、ｘ＋ｔ）、（ｙ－ｕ、ｙ＋ｖ）より大きいもの
が存在することになり、ｓ、ｔ、ｕ、ｖの最大性に反するので、上の
ような開区間全体の集合のどの異なる２つの開区間も交わりを持たな
い。
つまり、任意の開集合Ｏは、交わりを持たない開区間の和集合で表せ
る。
そして、各開区間から一つ有理数を選ぶと（有理数の稠密性から必ず
取れる）、各開区間は交わりを持たないことから、これらの有理数は
どれも異なり、したがって、開区間全体の集合から、有理数全体の
集合への単射が構成されることになる。
よって、有理数全体は可算集合なので、この開区間全体の集合も可算
集合である。

回答No.3

kabaokaba

丸投げにしか見えないのが問題．
＃No.1さんはそれを暗に指摘しているだけでしょう

任意の開集合が「開区間」の和になるはずはないから
正しくは
「実数の普通の位相での，任意の開集合は
可算個の開集合の和集合で表わせる」
ということでしょう．

証明の方針というか，キモの部分は以下の通り．
ただし，質問者の学習段階が一切不明なので
とりあえず一般の場合を考えます．
(1) 実数の任意の開集合は「開区間」の和集合である．
正確には以下の通り．
実数の任意の開集合に対して連結成分分解をすると
各連結成分は開集合であり，
実数の連結な開集合は開区間である
(2) 連結な開区間はすべて開区間(0,1)と位相同型である
(3) 開区間(0,1)は有理数を「中心」とする
微小な開集合の和集合で表わせる
(4) 有理数の集合は可算無限集合
(5) 有理数の集合は実数の集合の中で稠密
ここまでいえば自明でしょう．

テクニカルタームでいえば
「実数は可算開基を持つ」ということです．
「可算開基」で調べると一番シンプルなケースとして
今回の内容がでてるかもしれません．

お礼

説明ありがとうございます。
しかしこれは丸上げなどではありません。
どう判断しているのか知りませんが。
式を使ってというのは口頭の説明だけでは納得しない
人達もいるからです。式でも表せるようにしたいと思ったまで。
自分の書き方が悪かったのもありますがNo1さんはどうみても
嫌味にしか見えないですね。

回答No.2

connykelly

ココ↓のP34辺りが参考になるかと思います。一度ご覧ください。

http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Lebesgue.pdf

参考URL：

http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Lebesgue.pdf

回答No.1

koko_u_

自分で証明ができない事情でもおあり？

補足

わからないのですよ。
それとも簡単なので自分で考えよという意味でしょうか？
ここはわからない問題を質問する場なのでしょう。
上記の質問の意図がわかりかねます