数学IIBの三角関数の分野

質問

三角形ABCにおいて、A=2π/3のとき、次の設問に答えよ。
（１）sinB+sinCのとり得る値の範囲を求めよ。
（２）sinBsinCのとり得る範囲の値を求めよ。

（１）で、A+B+C=πとA=2π/3より、C=π/3-B
よって、sinB+sinC=sinB+sin(π/3-B)
これを和積の公式で解くと
con(B-π/6)
ここまでは分かりました。
ここで(B-π/6)の範囲を求めたいわけです。
模範解答では、-π/6<B-π/6<π/6　なんですが、なぜこうなるのかが分かりません。
Bの値が分からないのに、なぜこの範囲になるのかが分かりません。

（２）も同様に、積和の公式で最後まで解くと
1/2cos(π/3+2B)-1/4 になると思うのですが、これも(π/3+2B)の範囲の求め方は分かりません。

sinx+cosx=1/5 のとき、tanx/2 の値を求めよ。
この問題は考え方が分かりません。
条件式を二乗したりしたのですが、分かりませんでした。

教えてください。

回答No.6

Mr_Holland · ベストアンサー

ANo.3です。
＞あと、皆さまが言っているのは「解と係数の関係」というものですか？
＞今調べてきたのですが、まだ授業でやってないんです。

　2次方程式の解と係数の関係は難しくありませんので、簡単に説明しておきますね。

**********************************************************************
　次のtの2次方程式の2つの解(虚数解でも構いません）を　α,β　とします。

　　at^2+bt+c=0 (a≠0)　　　　・・・・・・☆

　すると、この2次方程式は次のように因数分解ができるはずです。

　　a(t-α)(t-β)=0

　この式を展開すると　次のように表せます。

　　at^2-a(α+β)t+aαβ=0　　　・・・・・・※

　ここで、2つの2次方程式☆と※はt^2の係数が共にaですから同じもののはずです。
　従って、他の項の係数も一致しなければならず、次の関係式が得られます。

　　b=-a(α+β), c=aαβ
　∴α+β=-b/a, αβ=c/a ←　これが「2次方程式の解と係数の関係」です。
************************************************************************

＞だから「解と係数の関係」を利用せずに解く方法はありますか？

　「解と係数の関係」を利用しないと　手間がかかりますが、次のようにして求めることができます。

　tan(x)=y とおいて、y+1/y の値を得ます。

　y+1/y
=tan(x)+1/tan(x)
=sin(x)/cos(x)+cos(x)/sin(x)
={sin(x)^2+cos(x)^2}/{sin(x)cos(x)}
=1/{sin(x)cos(x)}
=-25/12　　　（∵　sin(x)cos(x)=-12/25　）

　この式の両辺に 12y を掛けて整理すると　次の2次方程式が得られ y=tan(x) が求められます。

　　y+1/y=-25/12
　⇔12y^2+25y+12=0, y≠0
　⇔(3y+4)(4y+3)=0, y≠0
　∴y=tan(x)=-3/4, -4/3

　次に 得られた tan(x) の値から　cos(x),sin(x)を求めていきます。
　公式　1+tan(x)^2=1/cos(x)^2 から　cos(x)^2=1/{1+tan(x)^2} ですので、

　　tan(x)=-3/4 のとき　cos(x)=±1/√{1+(-3/4)^2} =±4/5
　　　　　　　　　　　　　sin(x)=cos(x)tan(x) =(±4/5)(-3/4)=干3/5　（複号同順）

　　tan(x)=-4/3 のとき　cos(x)=±1/√{1+(-4/3)^2} =±3/5
　　　　　　　　　　　　　sin(x)=cos(x)tan(x) =干4/5　　　（複号同順）

　さて、この得られた sin(x),cos(x) の中には無縁解が含まれています（cos(x)^2から求めたため）ので、それを　sin(x)+cos(x)=1/5 と照らし合わせて排除します。
　すると、次の組み合わせのときだけ　sin(x)+cos(x)=1/5　が成立することが分かります。

　　∴(sin(x),cos(x))=(4/5,-3/5), (-3/5,4/5)

　ここまで来たら、あとは　公式　tan(x/2)=(1-cosx)/sinx 　を利用して求めていけます。
　（大変だったでしょ！）

　あと　ANo.3　の最後のところで誤記がありましたので訂正します。

＞　(sinx,cosx)=(-3/5,4/5)　のとき
＞　　　tan(x/2)=(1-4/5)/(-3/5)=1/3
（正）　tan(x/2)=(1-4/5)/(-3/5)=-1/3
＞と求められ、　tan(x/2)=2,1/3 だと分かります。
（正）　　　　　tan(x/2)=2,-1/3

お礼

皆さま回答ありがとうございました。

回答No.7

noname#157574

＞数学IIBの三角関数の分野
　現在は数学IIBという科目はありません。あとこの問題は三角関数の問題というより，代数・幾何に関する問題だと思います(事実，三角関数の加法定理が複素数平面や行列の中で扱われていた時があった)。

回答No.5

naniwacchi

#4(#1)です。

＞「解と係数の関係」を利用せずに解く方法はありますか？
まだ習ってないんですか。
できれば、そちらを授業でも先にやってほしいところですが、と言っても仕方がないので。＾＾；

式を整理すると、以下のようになりますね。
sin(x)+ cos(x)＝ 1/5
sin(x)* cos(x)＝ -12/25

上の式から cos(x)＝ 1/5- sin(x)として、下の式に代入します。
すると、sin(x)についての 2次方程式になります。
ちなみに、この式は因数分解が可能です。
（もちろん、解の公式を使っても構いません。）

sin(x)が求まれば、cos(x)も求まりますね。

あとは、tan(x/2)の計算です。
tan(x/2)＝ sin(x/2)/cos(x/2)ですから、sin(x/2)と cos(x/2)の値がわかればよいことになります。

おそらく「倍角公式」というものを習っていると思います。
その式で、θ→θ/2と角度を置き換えます。これは「半角公式」と呼ばれます。
半角公式を用いて、sin(x/2)と cos(x/2)の値を求めます。

教科書を行ったり来たりするかもしれませんが、しっかりやってみてください。

回答No.4

naniwacchi

#1です。

＞sin(x)と cos(x)の△が求まる
＞というのが分からないです。
＞sinxcosx=-12/25となりました。
ここまではいいと思います。
△には「積」（一文字にしてたので）が入ります。

そこで、2つの数の「和」と「積」がわかっているのならば、
二次方程式の「ある」関係が使えますよね。
どちらか一方を消去してもよいですが、計算内容はほとんど同じです。

ところで、
＞tan(x/2)ですか？tan(x)/2ですか？

はどちらなんでしょうか？
sinxcosx=-12/25もきちんと括弧をつけないと、わかりづらいですよ。＾＾；

補足

すみません。
tan(x/2)と、sin(x)cos(x)　です。

あと、皆さまが言っているのは「解と係数の関係」というものですか？
今調べてきたのですが、まだ授業でやってないんです。

だから「解と係数の関係」を利用せずに解く方法はありますか？

回答No.3

Mr_Holland

(1)　sinB+sinCのとり得る値の範囲
＞ここで(B-π/6)の範囲を求めたいわけです。
＞模範解答では、-π/6<B-π/6<π/6　なんですが、なぜこうなるのかが分かりません。

　B+C=π/3 で　B,C>0 ですので　0 < B < π/3 となりますので、この不等式の各辺から　π/6 を引いて
　　-π/6 < B-π/6 < π/6
を求めています。

(2)　sinBsinCのとり得る値の範囲
＞これも(π/3+2B)の範囲の求め方は分かりません。

　求めたい範囲がこの式でしたら、上記(1)と同様に考えて
　　0 < B < π/3
　⇔0 < 2B < 2π/3
　⇔π/3 < 2B+π/3 < π
を得ます。

　しかし、積和の公式を使った結果が異なるように思います。

　　sinBsinC=(1/2){cos(B-C)-cos(B+C)} =(1/2)[cos{B-(π/3-B)}-cos(π/3)} =(1/2){cos(2B-π/3)-1/2)}=(1/2)cos(2B-π/3)-1/4

　従って、求める範囲は　2B-π/3 で　この範囲は　-π/3 < 2B-π/3 < π/3 になります。

(3)　sinx+cosx=1/5 のとき、tanx/2 の値
＞条件式を二乗したりしたのですが、
　この方針はOKです。これを続けて　sinx cosx の値を得ます。

　　　(sinx+cosx)^2=1/25
　　⇔(sinx)^2+(cosx)^2+2sinx cosx=1/25
　　∴sinx cosx =-12/25

　ここで、sinx, cosxを2解とするtの2次方程式を考えますと、解と係数の関係から
　　t^2-(1/5)t-12/25=0
　⇔25t^2-5t-12=0
　⇔(5t-4)(5t+3)=0
　∴t=4/5,-3/5
となりますので、 (sinx,cosx)=(4/5,-3/5), (-3/5,4/5) であることが分かります。

　公式により　tan(x/2)=(1-cosx)/sinx ですので
　　（この公式は　sin(x/2)^2=(1-cosx)/2, sinx=2sin(x/2)cos(x/2) から求められます。）

　(sinx,cosx)=(4/5,-3/5)　のとき
　　　tan(x/2)=(1+3/5)/(4/5)=2
　(sinx,cosx)=(-3/5,4/5)　のとき
　　　tan(x/2)=(1-4/5)/(-3/5)=1/3
と求められ、　tan(x/2)=2,1/3 だと分かります。

回答No.2

lilam03

(1)は分かりました。

まず-π/6<B-π/6<π/6を分かりやすいように角度に直してみましょう。
すると、

-30°<B-30°<30°

となります。
ここで、それぞれに30°を足すと

0°<B<60°

となります。

0°<Bはわかりますね。三角形なので、Bは0°より大きいという意味です。

B<60°は「三角形ABCにおいて、A=2π/3のとき、次の設問に答えよ。」という条件に当てはめればわかります。
Aは2π/3、つまり120°で、三角形の内角の和は180°なので、Bは60°より小さくなります。

お礼

回答ありがとうございます。
Bの範囲の意味を理解することができました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
大きく 2問あるってことですね。

「三角形ABCにおいて、A=2π/3のとき、次の設問に答えよ。」
そもそも角Ｂは、三角形の角の一つですよね。
そして、Ａ＝ 2π/3なのですから、三角形として角をなすためには・・・

「sinx+cosx=1/5 のとき、tanx/2 の値を求めよ。」
tan(x/2)ですか？tan(x)/2ですか？

条件式を 2乗するのはいいと思います。
すると、sin(x)と cos(x)の△が求まりますよね。
条件式はそもそも和で、2乗して出てきた式は△・・・
足して 1/5、△して○となるような 2つの数は、どんな「解」として与えられますか？

お礼

sin(x)と cos(x)の△が求まる
というのが分からないです。
sinxcosx=-12/25となりました。
しかし、ここから何をすればいいのかが分かりません。
もう少しヒントをお願いします。