P(α,2α)、Q(β,β/2)、A(a,a)の△ABCの周の長さの最小値は?

質問

以下の問題なのです。

[問]a>0に於いて
P,Qを夫々y=2x、y=x/2上の点とし、A(a,a)する。この時、△APQの周の長さが最小となる時のP,Qの座標を求めよ。
[解]
AP+AQ+PQの最小値は相加・相乗平均から
AP=AQ=PQの時(正三角形)が最小値をとる。。。

という方針で正しいのでしょうか?

回答No.2

cloud-lab · ベストアンサー

点Aのy=2x,y=x/2に関して対称な点をA',A"として、直線A'A"とy=2x,y=x/2の交点が点P,Qのとき最小となるのではないでしょうか？
最短距離の問題を思い出してください。
後は分かりますよね？

相加相乗平均についてはご指摘の通りです。
AP・AQ・PQが一定、といった条件があるときに使います。

お礼

有難うございます。
解けました。

回答No.3

sunasearch

すみません。

一点固定でもいけるかなと思ったのですが、
違ったみたいですね。

＃２さんのが正しいと思います。

お礼

有難うございます。
解けました。

回答No.1

sunasearch

正しいと思います。

補足

有難うございます。

> 正しいと思います。
ちょっと疑問に思うのですが

AP≠AQの時には

(AP+AQ+PQ)/3>(AP・AQ・PQ)^(1/3)
となるという事は理解できます。でも、
この時の
(AP・AQ・PQ)^(1/3)
とAP=AQ=PQの時の
(AP・AQ・PQ)^(1/3)
とは異なりますよね。
もし前者の
(AP・AQ・PQ)^(1/3)
の方が後者の
(AP・AQ・PQ)^(1/3)
より小さいなら
AP=AQ=PQの時が最小値をとるとはいいがたく思えるのです。
これはどう説明すればいいのでしょうか?