Q(p+q, pq)の動く範囲で，y≧0の条件？

質問

ご教示お願いします。

問題：座標平面上の点 ( p, q )は x^2 + y^2 ≦8, y ≧ 0 で表される領域を動く。
点Q (p+q, pq )の動く範囲を図示せよ。

この解答で，X = p+q, Y = pq とおいて，XとYの関係式
X^2 - 2 Y ≦　8 ・・・・・・(1)
を作り，かつ，
t^2 - Xt + Y =0 ・・・・・・(2)
が実数解を持つことから，この判別式
D = X^2 - 4 Y ≧ 0 ・・・・・・ (3)
までは考えたのですが，
問題にある“ y ≧ 0”　をどのように反映させてよいかがわかりません。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

hrsmmhr · ベストアンサー

No.1の補足についてですが

(p,q)=(x,y)だと固定する必要はありません。
x+yもxyも対称式なので入れ替えてもいいのです。

(p,q)=(0,-1)だとして(2)の解は(x,y)=(1,-1),(-1,1)が存在するわけですが
Qの領域としては(x,y)=(-1,1)がy>=0の領域に含まれるために
対応する(p,q)=(0,-1)は、y>=0という領域からの像に含まれていることが分かります
p-q平面の各点は２つのx-y平面の各点が（二つの解がある範囲で）二つずつ対応するのだと思います

２次式t^2-Xt+Y=0が（０を含む）正の解を持つ条件は
１）t=0のときの2次式の値0^2-0*X+Y=Y<=0（正と負の解の場合）
２）軸が正でt=0のときの2次式の値0^2-0*X+Y=Y>=0（正の解二つの場合）
となります

お礼

補足の丁寧な回答ありがとうございます。
後半の２）は，グラフをイメージして，初めて，理解できました。

回答No.6

Think_over

yを反映させることは、Ｎｏ．４さんが解答しているとおりで、ご自身の注意力に寄るしかなさそうですね。それと（Ｘ，Ｙ）の満たす領域をグラフにすると、注意力アップしますよ。
まだ締め切りしないから、余計なことを書きます。きっと釈然としないんでしょうか？
点(Ｘ,Ｙ）の満たす範囲は
　Ｘヘ2／２-4<=Ｙ、Ｘ^2／４>=Ｙ，とYの場合分け（ここが質問ですが、Ｎｏ４さんが解答している。）ともう一つXの範囲　
すなわち
Ｘ＝ｐ＋ｑ・・(1)
ｐ＾２＋ｑ＾２＜＝８・・・(2)
横軸をｐ，縦軸をqとすれば(2)の半径２√２の円のp軸の上半分の半円を動く点（ｐ，ｑ）について直線
ｑ＝－ｐ＋Ｘ・・(1)'のq切片にあたるＸの動く範囲を求めればいい。
(1)と(2)のグラフを書けばＸの最小値は(P,q)=(-1,0)のとき、最小値Ｘ=-2√２。Ｘの最大値は(1)’をｐ＾２＋ｑ＾２＝８に代入して判別式=0よりＸを求めて、正の方のＸだから、
Ｘ＝４　まとめて-2√２＜＝Ｘ＜＝４としてグラフを書くとイメージがわきます。
Ｐ．Ｓ（実はP=rsinθ、q=rcosθ　(0<=r<=2√２、o<=θ<=π)とおいても解けます。でも解答速度は変わらないし、質問事項ではありませんでした。）

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。
やはり，グラフをイメージするところから考えることの大事さが，
よくわかりました。

回答No.5

Think_over

yを反映させることは、Ｎｏ．４さんが解答しているとおりで、ご自身の注意力に寄るしかなさそうですね。それと（Ｘ，Ｙ）の満たす領域をグラフにすると、注意力アップしますよ。
まだ締め切りしないから、余計なことを書きます。きっと釈然としないんでしょうか？
点(Ｘ,Ｙ）の満たす範囲は
　Ｘヘ2／２-4<=Ｙ、Ｘ^2／４>=Ｙ，とYの場合分け（ここが質問ですが、Ｎｏ４さんが解答している。）ともう一つXの範囲　
すなわち
Ｘ＝ｐ＋ｑ・・(1)
ｐ＾２＋ｑ＾２＜＝８・・・(2)
横軸をｐ，縦軸をqとすれば(2)の半径２√２の円のp軸の上半分の半円を動く点（ｐ，ｑ）について直線
ｑ＝－ｐ＋Ｘ・・(1)'のq切片にあたるＸの動く範囲を求めればいい。
(1)と(2)のグラフを書けばＸの最小値は(P,q)=(-1,0)のとき、最小値Ｘ=-2√２。Ｘの最大値は(1)’をｐ＾２＋ｑ＾２＝８に代入して判別式=0よりＸを求めて、正の方のＸだから、
Ｘ＝４　まとめて-2√２＜＝Ｘ＜＝４としてグラフを書くとイメージがわきます。
Ｐ．Ｓ（実はP=rsinθ、q=rcosθ　(0<=r<=2√２、o<=θ<=π)とおいても解けます。でも解答速度は変わらないし、質問事項ではありませんでした。）

回答No.4

mister_moonlight

＞問題にある“ y ≧ 0”　をどのように反映させてよいかがわかりません。

y ≧ 0さえ保証されれば、xは正でも負でもかまわない。と、言う事。

t^2 - Xt + Y =0　とする。もちろん、 x^2 + y^2＝X＾2-2Y≦8　だが、問題はその上でどうするか。
(1)　x≧0、y≧0　の時
これが実数解を持つから判別式≧0、2解の和＝X≧0、2解の積＝Y≧0　が条件。
(2)　x≦0、y≧0　の時
2解の積＝Y≦0　が条件。この時、判別式≧0　は保証されている事くらいは分かるだろう。

X＾2-2Y≦8　の上で、(1)、or、(2)の条件を加えると良い。

回答No.2

Har-mo-nize

q≧0かつp<0のとき、f(t)=t^2-Xt+Yとすれば、f(0)=Y≦0ですよ。
q≧0かつp≧0のときX≧0かつY≧0ですから（等号を含めてもよいことに注意してください。）、求める領域は２つの放物線(1),(3)で囲まれた領域のうち第2象限を除いた範囲（すべての境界を含む）ということになります。

回答No.1

hrsmmhr

(2)の少なくとも一方が正の解を持てばいいです
少なくとも正の解をyとすれば、Q=(x+y,xy)を満たす(x,y(>=0))は存在するわけですから

お礼

早速のご回答ありがとうございます。

ただ，y >=0 (q >=0 )の条件の下で，
p > 0 のとき，Y > 0 , X > 0 より，二つの関数に挟まれた第１象限は，題意を満たします。
しかし，
p < 0 のときは，不明です。

同様に， y<0 の条件の下で，
p < 0 のときは，X < 0 かつ Y > 0 となり，これは，題意を満たさない領域ですから除外すればよいことがわかります。
しかし，
p > 0 のときは不明です。

ここで詰まっていまして，，，ご教示，よろしくお願いいたします。