最小値の問題を相加・相乗平均を使って解きましたが、正解でしょうか？
（問題）
x>0, y>0, z>0, x+y+z = 1 のとき、x^3 + y^3 + z^3 の最小値を求めよ。
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（私の解答）
x>0, y>0, z>0より、x^3>0, y^3>0, z^3>0 なので、相加・相乗平均の関係から、
x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3 * (x^3 * y^3 * z^3)^(1/3)
等号成立は、x^3 = y^3 = z^3 のときで、
x>0, y>0, z>0 だから、x = y = z
これと x+y+z = 1 より
x = y = z = 1/3
のとき、x^3 + y^3 + z^3 は最小となる。
すなわち、x^3 + y^3 + z^3 ≧ 1/9
したがって、最小値は、1/9 ・・・（答）
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上記のように解きましたが、自信がありません。
正解か否かのご判定と、間違っている場合は、何が間違いかをご指摘いただければ幸いです。
お礼
回答ありがとうございます。 よく理解できました。 ありがとうございました。