最小値を求める問題

質問

最小値を求める問題

に苦労しています。

x,yを正の数とするとき、

(3x+2y)(3/x+2/y) がとりうる値の最小値を求めよ。

相加相乗(a+b≧2√ab)を使うような気がするのですが…

どなたかよろしくお願いします。

回答No.4

tra_tata · ベストアンサー

とりあえず、(3x+2y)(3/x+2/y) を展開して整理してみましょう。

(3x+2y)(3/x+2/y)
　=9+6x/y+6y/x+4
　=13+6*(x^2+y^2)/xy　…(☆1)　←第2項、第3項を通分

ここで、(x^2+y^2)/xyの分子について変形する。
(x^2+y^2)=(x+y)^2-2xyなので、

(x^2+y^2)/xy={ (x+y)^2-2xy }/xy
　= { (x+y)^2 }/xy-2　…(☆2)

============================================================
ここで相加相乗平均より、
　a+b≧2√ab
　(a+b)^2≧4ab　← a,bは正なので2乗しても不等号の向きは同じ

a,bをx,yに置き換えると
　(x+y)^2≧4xy　…(☆3)
============================================================

(☆3)を(☆2)に適用すると、
　{ (x+y)^2 }/xy-2≧2　…(☆4)

(☆4)を(☆1)に適用すると、
　(3x+2y)(3/x+2/y) =13+6*(x^2+y^2)/xy ≧25

つまり最小値は、25

(☆2)、(☆3)の変形を思いつくかがポイントです。

お礼

ありがとうございました！

よくわかりました。

回答No.5

info22

#3です。

単純ミスです。
> (3x+2y)(3/x+2/y)=13+6(x/y+y/x)
=13+6*2√((x/y)(y/x))=25
等号はx/y=y/xの時　x^2=y^2　→　x>,y>0 → x=y
> 最小値15（等号はx=yの時成立）が出てきませんか？
最小値25（等号はx=yの時成立）

回答No.3

info22

>x,yを正の数とするとき、
>(3x+2y)(3/x+2/y) がとりうる値の最小値を求めよ。
>相加相乗(a+b≧2√ab)を使うような気がするのですが…
使えばできます。

(3x+2y)(3/x+2/y)=13+6(x/y+y/x)

ここで (x/y+y/x)の項に対して相加相乗平均の関係を使えば

最小値15（等号はx=yの時成立）が出てきませんか？

回答No.2

gohtraw

与式を展開すると
　９＋６ｘ／ｙ＋６ｙ／ｘ＋４＝１３＋（６ｘ＾２＋６ｙ＾２）／ｘｙ
　　　　　　　　　　　　　　＝１３＋（６（ｘ＋ｙ）＾２－１２ｘｙ）／ｘｙ
　　　　　　　　　　　　　　＝１３＋６（ｘ＋ｙ）＾２／ｘｙ－１２
　　　　　　　　　　　　　　＝１＋６（ｘ＋ｙ）＾２／ｘｙ
となり、これに相加相乗平均の関係を用いると・・・？

回答No.1

koko_u_u

>相加相乗(a+b≧2√ab)を使うような気がするのですが…

なら使えばいいじゃない。何が聞きたいのやらサッパリですわ。