絶対値って何ですか？

質問

絶対値というものがよくわかりません。
ゼロ（原点？）からの距離、なのでしょうか？

│３│は３というのは、多分判ると思います。

０　＋１　＋２　＋３……
という数直線があって、＋３までの距離が３だから、
│３│と表される、ということです、か？

わからないのは、│－３│を戻す（という言い方でいいのかも判りませんが）とき、何故「３」という答えが出るのでしょうか。

……－３　－２　－１　０　＋１　＋２　＋３……

とあって、│－３│ならば数は－３と出るのではないですか？

ａ≧０　ならば│ａ│　＝　ａで、
ａ＜０　ならば│－ａ│　＝　ａ　になる？というのも、イマイチ理解できません。
どなたか教えて下さい。

……今年高校生になるものなので、全然知識はありません。噛み砕いて教えて下さい。

回答No.6

sunasearch · ベストアンサー

＞ゼロ（原点？）からの距離、なのでしょうか？

距離ですね。

まず、距離というものを誤解していませんか？
距離は-30kmとかならないように、
必ず正の値を取ります。

距離は、２つの地点AとBの間の長さを測るものです。

例えば、新幹線の「のぞみ」に乗って、東京から広島まで行くとします。

「東京」→「名古屋」→「京都」→「新大阪」→「新神戸」→「岡山」→「広島」

今、途中の「新大阪」駅にいるとして、東京まで何駅ありますか？
と聞かれたら「ー３」駅とは答えませんね。

新大阪からは、東京まで３駅、広島までも３駅です。

これを数直線に置き換えても同じです。

お礼

距離というものを誤解していたようです、やっぱり。

例えがすごくわかりやすいです！
新大阪が原点とすると、│東京│＝３ということです、よね？　広島も│広島│＝３ということ、かな。
ありがとうございました！

回答No.8

quads

>>7の訂正です…。
最後の行、『悦脱』でなく『逸脱』です。タイプミスしました…。

これだけの投稿では何か申し訳ないので、追記を。

習っていないと思いますが、複素数平面という平面を考えれば、その場合に何故「３」という答えが出るのかが明らかです。

数直線で考えると、数直線（ｘ軸）と絶対値を図形的に読み取る場合の線が重なってしまって、理解しにくいので、ｘｙ平面を考えてみてください。
他の方も仰っていますが、絶対値とは原点（0）からの距離です。

原点から座標（ｘ，ｙ）の距離は分かりますか？
√(x^2 + y^2)ですね。
図形的に見ても、線の長さなので負にはなりませんよね。

実数の絶対値も同じことなのです。
ｘ軸（数直線）に於いて、原点から座標（ｘ）の距離は、
√(x^2)なのです。

>>7の回答で触れた絶対値の定義は、複素数平面で考えるものなのですが、実は中学校で習ったｘｙ平面と全く同じ考え方なのです。

◆まとめ。　※質問に対して直接回答します。
絶対値ｘは、原点からｘの線の長さです。
線の長さは、どんな向きを向いていても長さなので負にはなりませんよね。
そういうことです。

お礼

複素数平面というものがわからない、けど、ｘｙ平面、というのは普通の面積のこと、かな？　ああ、でもそうしたら中学校じゃないような気もするような。ほわ。

まとめ、を読みました。線の長さは負にならない。これは本当に基本的なことなんですね……。
説明は難しかったけど、もう少しお頭が良くなってから改めて読みにきます！　丁寧に有難うございました。
よく見れば、専門家さんなんですね。すごいなぁ…。

回答No.7

quads

絶対値の定義を考えなくてはいけないのですが、
複素数z = a+bi (a,bは実数、iは虚数単位)　に於いて、
zの絶対値は『 |z| 』や『 abs(z) 』と示すものとする。
※以下ではルートxをsqr(x)、nの2乗をn^2と表記する。

絶対値zの定義は【 |z| = sqr(a^2 + b^2) 】です。
実数aであれば、sqr(a^2)となるので、場合分けすれば、
a < 0 のとき、|a| = -a
a = 0 のとき、|a| = 0
a > 0 のとき、|a| = a
となります。
a=0の場合に関しては、|a|=-aでも|a|=aでも成立するのでどちらかに含んでしまっても解釈上は構いません。

数学は定義に従うのが大切です。
なぜそうなるのか。より、そうなるように定義したのは何故か。を考えられるようになれば良いですね。
※質問範囲を悦脱していますが…。基本的な数学の定義を考えてしまうと哲学に繋がってしまいそうです…。

回答No.5

kwansai

距離ですね。
｜３｜は｜３－０｜なので０から３までの距離
｜－３｜は｜－３－０｜なので０からー３までの距離
｜５－２｜ならば２から５までの距離
｜２－５｜ならば５から２までの距離
－（マイナス）以下が起点と考えればいいと思います。

お礼

│５－２│
……ゼロ以外にも距離はありますね、そういえば。
でも、│３－０│は│３│と先に書かれているんで、│５－２│は│３│かなぁ？　普通に計算すればいいのか。
ありがとうございました。計算しなさい、という問題の方も片付いて良かったです。

回答No.4

springside

絶対値は、まずは以下の２つのことを覚えておけばいいと思います。（とりあえずはあまり深く考えず、機械的に覚えておけば可）

１．絶対値は、原点からの距離。
|3|は、「原点と3との距離」だから、|3|=3
|99|は、「原点と99との距離」だから、|99|=99
|-3|は、「原点と-3との距離」だから、|-3|=3
（注：距離を測るので、方向は関係ありません。つまり、質問のように、「戻す」という操作ではありません）

２．絶対値は、0以上ならそのまま、0未満なら符号を変える。

|3|を考えるとき、3は0以上だから、そのままにして3
|99|を考えるとき、99は0以上だから、そのままにして99
|-3|を考えるとき、-3は0未満だから、符号を変えて3
|a|を考えるとき、
　　aが0以上なら、そのままにしてa
　　aが未満なら、符号を変えて-a

つまり、絶対値は必ず0以上になります。

お礼

「戻す」ではなかったのですね。
１と２を覚えます、よし。
『絶対値は必ず0以上になります。』
だから、ａがゼロ未満＝負の数　なので－ａ　と表されるんですね！理解できました。なるほどです。ありがとうございました。

回答No.3

cronus0620

そうです、数直線状の０からの数値的距離と思って下さい。
ですので、３の場合は０から３つ離れているので、｜３｜です。
同様に－３も０から３つ離れているので｜３｜です。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/saabs001.htm

お礼

参考ＵＲＬも見てきました。ちょっと難しかったけど、これからもここで勉強できそうだなって。有難う御座います。「数値的距離」ということを念頭に入れるんですね。

回答No.2

you0430

俺は今年高２のものです。
自分が考えたときは、ものさしを考えました。

この世界で負の値を持つ長さってないですよね？
負の数は基準に対するものだとか何とか先生が言ってた気がします。まぁここは専門家に任せて。。
基準をとらず、単位だけではかるのが絶対値だと思います。

要は仰るとおり絶対値は２点間の距離だ、ということです。繰り返しますけど「ものさしのイメージ」ね。

間違ってたらごめんなさい。

お礼

「ものさし」かぁ……。
正の値があるから負の値があるってことなのかな？でもまあ、それは専門家に任せて、ですね、お兄さん。

高２ということは、僕より一つ上なんですね。なんだか少し嬉しいような。有難うございました。頭の中で「ものさし」作って頑張ります。

回答No.1

rmz1002

> ゼロ（原点？）からの距離
これ以外のなにものでもありません。
+3は0から見て「プラスの方向に」移動して「距離=3」だから、|3|。
-3は0から見て「マイナス方向に」移動して「距離=3」だから、|3|。
方向と距離は別物として考えてください。

お礼

方向と距離を同じに考えていた気もします、自分。さくっと教えてくれて、ありがとうございました。