絶対値

質問

絶対値は原点からの距離を表しているから、負にならない！

ですが、例えば原点から、a'と-a'の点までの距離を|a|とあらわせれるはずです。つまり、数直線上の距離じゃなくて実数で考えるときは、|a|はa'と-a'の2種類あるけど、原点からの距離はどちらもaだから、距離を表しているから|a|は負になることはないって、考え方でいいですか？

それでですが、絶対値の性質にある①|A|≧Aってなんですか？距離Aが実数Aより大きくなることがわかりません。
どう理解していいかわかりません。

また、②|A|≧-A、これは、実数-Aに対して、距離のAの方が数字的に正だから大きいという解釈でいいですか？

③|A|≧0、これは、原点からの距離がAだから負になることは無いから0以上なのはわかります。多分ですが…

できたら、？に易しく解説していただけたら、ありがたいです。
本当にお願いします。
何の本読んでも同じことしか書いてありません。距離の数字と、数直線上の点の数字とを誤解しているのかもしれません。ご多忙な中申し訳ありませんが、ご教授下さい。

回答No.3

miniture_min · ベストアンサー

Aという値はプラスかマイナスのどちらの値でも取れるという事を前提に考えないと話がおかしくなります。
普通の方程式でxという記号を使いますが、x=-4とかの値は普通にありますからね。
それを踏まえた上で、下記の証明をご確認下さい。

(1)|A|≧A
(i)　A≧0の場合
　　　　|A|＝　A　　　∵ x≧0に注意して絶対値の定義を適用　
(ii)　A＜0の場合
　　　|A|＝－A　　　∵ x＜0に注意して絶対値の定義を適用　　　　
　　　A＜0なので、　
　　　－A＞0＞A　　
　　　よって、|A|＝－A＞A

(2)|A|≧-Aの証明
(1)の証明がひっくり返るだけなので割愛

(3)|A|≧0
『原点からの距離がAだから負になることは無いから0以上』の解釈で合ってます

参考URL：

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/arithmetic/AbsoluteValue/AbsoluteValue.htm

お礼

すごくわかりやすく、丁寧に細かくありがとうございました。

回答No.2

donbei666

(1)|A|≧A
Aが正か負かで場合分けです。
A=-5のときは
左辺＝5
右辺＝-5
A=5のときは
左辺＝5
右辺＝5
でどちらも(1)を満たします。

(2)|A|≧-A も上と同じで、
Aが正か負かで場合分けです。
A=-5のときは
左辺＝5
右辺＝-(-5)=5
A=5のときは
左辺＝5
右辺＝-(5)=-5
でどちらも(2)を満たします。

これじゃ納得できませんか？

お礼

かなり納得できました。大変すばらしい回答ありがとうございました！

回答No.1

naniwacchi

大学の数学で扱うような空間ではいろいろと違うこともあったりしますが、
いまは高校数学で扱う「普通の」話として。

＞距離を表しているから|a|は負になることはないって、考え方でいいですか？
これはいいと思います。

＞|A|≧Aってなんですか？
Aが負の数であるときを考えてみてください。
たとえば、|-5|＞-5ということです。
Aが0以上の数であれば、|A|＝Aです。これらをまとめて書いているのです。

＞|A|≧-A、これは、実数-Aに対して、距離のAの方が数字的に正だから大きいという解釈でいいですか？
これもAが負の数であるときを考えてみてください。

当たり前のことを示すことって、意外と難しいです。

お礼

素早い回答ありがとうございました。とてもすっきりしました。