反転の証明

質問

次の３つの反転に関する命題の証明を教えてください。

１、原点を通らない円を反転すると、原点を通らない円に移る
２、原点を通る円を反転すると、原点を通らない直線に移る
３、原点を通らない直線を反転すると、原点を通る円に移る

なお、反転の中心をO,反転の半径をrとし、全て数I・Ａまでの範囲で証明していただけるとありがたいです。

回答No.2

take_5

相変わらず入力ミス。。。。。。。笑い

＞点Ｐからx軸に垂線を下して二つの三角形の相似を考えると

　　　　　　　　　　　　　　↓

点ＰとＱから各々x軸に垂線を下して、原点Ｏと各々の垂線の足でできる二つの三角形の相似を考えると

回答No.1

take_5

＞１、原点を通らない円を反転すると、原点を通らない円に移る

（x－α）＾2＋（y－β）＾2＝r＾2、r＞0、α＾2＋β＾2≠r＾2　とする。‥‥(1)
この円周上の点をＰ（x、y）、原点ＯとＰを結ぶ線分上の点をＱ（Ｘ、Ｙ）とする。
点Ｐからx軸に垂線を下して二つの三角形の相似を考えると、Ｘ/x＝Ｙ/y＝1/k　（k＞0）とすると、x＝kＸ、y＝kＹから(1)に代入して整理すると、（Ｘ-α/k）＾＋（Ｙ-β/k）＾2＝（r/k）＾2。
これを流通座標に戻すと、（x-α/k）＾＋（y-β/k）＾2＝（r/k）＾2。

＞２、原点を通る円を反転すると、原点を通らない直線に移る
＞３、原点を通らない直線を反転すると、原点を通る円に移る

これらも同じように考えればできる。
続きは、自分でやるように。