点と直線の距離の問題です

質問

直線l：y＝ax＋b(b＞0）において、原点とl、および点(2，4）とlの距離はともに2√2です。このときa，bを求めよ。 点と直線の距離が等しくなる式を使って途中まではやったのですが、絶対値を両辺２乗したあとが解けなくて。どなたか教えてください。宜しくお願い致します。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

直線ｌの式はａｘ－ｙ＋ｂ＝０

原点との距離
ｂ／√（ａ＾２＋１）＝２√２　・・・（１）
（２，４）との距離
｜２ａ－４＋ｂ｜／√（ａ＾２＋１）＝２√２

上記の二者は等しいので
ｂ＝｜２ａ－４＋ｂ｜
ｂ＞０なので、
｜２ａ－４｜＝０
よってａ＝２
これを（１）に代入すると
ｂ／√５＝２√２
よって
ｂ＝２√１０

お礼

明解かつ迅速なご回答ありがとうございます。助かりました。感謝いたします。

回答No.3

gohtraw

＃１です。

＃２さんの回答ですが、原点と（２，４）が直線ｌを挟んで反対側に
位置する場合の検討が必要ではないでしょうか？結果的には
ａ＝２になると思いますが・・・。

お礼

こちらも補足意見ありがとうございます。おっしゃってる事よくわかりました。

回答No.2

shuu_01

いきなり公式に当てはめるのではなく、まずグラフに点をプロットして考えます

点（0, 0）、点（2, 4） からの距離が等しいということは、この２点を結ぶ直線と平行な直線ですので、

y ＝ 2x ＋ b　という形になります（いきなり a ＝ 2 とわかる）

原点とこの直線の距離が 2√2　とのことですので、

原点を通り、これらの直線と垂直な直線 ＝ 傾きが －1/2 の直線 y ＝ －1/2 x　を引くと

原点との距離 2√2 となるのは

x^2＋y^2 ＝ （2√2）^2

x^2 ＋ （-1/2 x）^2 ＝ 8

（5/4）x^2 ＝ 8

x ＝ ± √（32/5） ＝ ±4√（2/5）＝±（4/5） √10

その時の y は y ＝ －＋（2/5）√10

点（4/5√10, －2/5 √10） を通り、傾き 2 の直線は

y＋2/5 √10 ＝ 2（ｘ － 4/5√10）

y ＝ 2 x － 2√10

点（－4/5√10, 2/5 √10） を通り、傾き 2 の直線は

y－2/5 √10 ＝ 2（ｘ ＋ 4/5√10）

y ＝ 2 x ＋ 2√10

b ＞ 0 ですので、求める直線は後者

y ＝ 2 x ＋ 2√10

お礼

迅速なご回答ありがとうございます。色んな解き方があるのですね。教えていただき感謝いたします。