数学１の絶対値

質問

教科書に
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数直線上の２点Ａ（ａ），Ｂ（ｂ）の距離ＡＢは
ａ≧ｂのとき，ＡＢ＝ａ－ｂ
ａ＜ｂのとき，ＡＢ＝ｂ－ａ
であるから
ＡＢ＝｜ｂ－ａ｜
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と書かれているのですが、何故ＡＢ＝｜ｂ－ａ｜と
まとめられるのか分かりません。教えていただけませんか？

回答No.3

debut · ベストアンサー

ａ≧ｂのときのＡＢ＝ａ－ｂを少し変形してみると
ＡＢ＝－ｂ＋ａ＝－(ｂ－ａ)

すると、ＡＢは
　・ａ≧ｂのとき －(ｂ－ａ)
　・ａ＜ｂのとき　ｂ－ａ
これは、絶対値｜ｂ－ａ｜を外すときの外し方と
同じことになります。
よって、ＡＢ＝｜ｂ－ａ｜　とまとめられます。
距離にはマイナスがないから、結局、座標の差の絶対値を
とればいいというわけですね。

お礼

非常に分かりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.6

nobu-

NO2です。
>ＡＢ＝｜ａ－ｂ｜ではダメなのか』ということを訊きたかったんです。

見当違いのことを書いてすいません。
他の人が書いているようにダメではないと思います。
ただ、私の心もとない記憶をたどっていくと、確か、ABとかく場合、ベクトルか何かで、正確には、B-Aと記述していたような記憶があります。

回答No.5

daikaisan

噛み砕いて書きます。
数直線上の２点Ａ（ａ），Ｂ（ｂ）の距離ＡＢとは、差ですよね。
Ａ（４），Ｂ（２）だったら、-----(1)
４－２＝２
Ａ（－４），Ｂ（２）だったら、----(2)
２－(－４)＝６
それで、距離、差というのは、＋(正の数)ですね。距離に－(負の数)はつかわないですよね。
上の式を２点Ａ（ａ），Ｂ（ｂ）の距離ＡＢを一般的な式としてまとめてかこうとすると、
ａ－ｂ　ではまずいですよね。
上の(1)のようにa>b なら、a-b ですが、(2)のa<bなら、b-aとかかないといけませんね。
こうした時便利なのもの、記号として絶対値があるのです。
絶対値とは数直線上の原点からの距離として、中学でならったはずで、
＋、－の符号に関係なく、正負にかかわりのない、数そのものの大きさを示してますね
実用上の利点とか、なんにも感じずにきたとおもいます。
ここで、数式を書くうえでの絶対値記号の便利さを知ってください。

ＡＢ＝それぞれの座標の差の絶対値、｜ｂ－ａ｜又は＝｜ａ－ｂ｜とかけばよいのです。

あなたの戸惑いをとくと、
｜５｜＝５ですね。｜－５｜＝５ですね。
これを知っているなら、
ｂ－ａ＝－ａ＋ｂ＝－(ａ－ｂ)ですね。
｜ｂ－ａ｜＝｜－(ａ－ｂ)｜
｜－５｜＝５なのだから、｜－(ａ－ｂ)｜＝ａ－ｂ＝｜ａ－ｂ｜
ゆえに｜ｂ－ａ｜＝｜ａ－ｂ｜ですね。
・・・・・・・・・・・注意、この説明は文字について突き詰めて考えていないので、キチンとした証明ではありません。現時点でのあなたの理解を暫定的に手助けするための説明です。

参考書などは、この程度はわかるだろうと、私たちみたいに「凡人」には冷たい面がありますね。
ＡＢ＝｜ａ－ｂ｜でも、｜ｂ－ａ｜もおなじことなのにね。

回答No.4

Quattro99

ＡＢ＝｜ａ－ｂ｜でもよいと思います。同じことですから。

ただ、Aを起点、Bを終点と考えると、普通は起点から正の方向へ進むことを想定するので（負の数とかマイナスの方向へ進むという考え方を習う前）、終点から起点を引くと考えるのが自然ということになり（この場合、距離はb-a）、そこへ、マイナスの方向へ進む場合（この場合の距離は-(b-a)）も含むように拡張して考えて｜ｂ－ａ｜の方を採用しているのではないかと思います。

回答No.2

nobu-

例えば起点（例えば自分のいる位置）をOとすると

---o---B-----A---
も
---o---A-----B---
もAとBの距離(絶対値とは、極端に言えば距離を表します。)は同じという意味です。

ａ≧ｂのとき，ＡＢ＝ａ－ｂ
とは上の図で10(A)-4(B)
ａ＜ｂのとき，ＡＢ＝ｂ－ａ
とは上の図で10(B)-4(A)
で結局距離は同じということです。

数十年前の知識なので懐かしい？？

補足

すいません、質問の仕方がよくありませんでした。
『ＡＢ＝｜ａ－ｂ｜ではダメなのか』ということを訊きたかったんです。

回答No.1

suzu_zou

距離は、負の数はありえないからです。
東京から大阪まで約400キロ、とはいいますが、
大阪から東京まで約-400キロ、とはいいませんよね。
数学の教科書ではこのことを抽象化していっているだけです。

個人的にはこの絶対値記号は「負の値にはならないんだぞ！」ということを
強調しているんだと勝手に思ってます。

補足

すいません、質問の仕方がよくありませんでした。
『ＡＢ＝｜ａ－ｂ｜ではダメなのか』ということを訊きたかったんです。