不等式の証明

質問

2a≧b^2のとき、2√a-b≧√2a-b^2が成り立つことを証明せよ。という問題です。
何から手をつけていいのかもよくわかりません；こんなレベルで申し訳ないのですが、よろしくお願い致します。

回答No.4

postro · ベストアンサー

#3です。
2a≧b^2　より
a≧０
√2a≧b　（ｂ≧０　のとき）
√2a≧-b　（ｂ＜０　のとき）
ｂ≧０　のときの証明ができればｂ＜０　のときの証明は容易なので、以降、ｂ≧０とする。
相加平均と相乗平均の関係より
a+b^2≧2b√a　（∵a≧０, ｂ≧０）（等号成立は　a＝b^2　のとき）
2a+2b^2≧4b√a
4a+b^2-4b√a≧2a-b^2
（2√a-b）^2≧(2a-b^2)≧０
2√a-b≧√(2a-b^2)　（∵√2a≧b　より　2√a≧b）（等号成立は　a＝b^2　のとき）
ｂ＜０　のときも同様に証明できる。但し、等号成立はなし。
証明終了

お礼

解けました。丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.3

postro

問題確認
2√a-b≧√2a-b^2
の左辺の-bは√の中に入っていますか？・・・（予想はNo)
右辺の-b^2は√の中に入っていますか？・・・（予想はYes)

補足

どちらもpostroさんの予想されている通りです。書き方が悪かったようで、すみません；

回答No.2

yumisamisiidesu

>4root(a)*b^2　の示すものがよくわかりません；
いろんな記号使っちゃって混乱させてしまったようですね
4root(a)*b^2=4×√a×b^2
です
アスタリスクは掛け算のことです

お礼

何度もすみません、丁寧に教えてくださりありがとうございました。

回答No.1

yumisamisiidesu

a,b:realは暗黙の仮定
2a≧b^2 より a>=0

2√a-b≧√2a-b^2 と 2√a+b^2≧√2a+b--(*) は同値なので
後ろを示します

(1)b>=0のとき
(2√a+b^2)^2-(√2a+b)^2
=2a+4root(a)*b^2+b^4-2root(2a)*b^2-b^2
=(2a-b^2)+(4root(a)*b^2+b^4-2root(2a)*b^2)
=(2a-b^2)+((4-2root(2))root(a)*b^2+b^4
>=0
統合条件は2a=b^2___and_b=0_ie_a=b=0
(2)b<0のとき
(*)の左辺-右辺=(2-root(2))root(a)+b^2-b>0

補足

回答ありがとうございます。数学以前の問題なのかもしれませんが、　4root(a)*b^2　の示すものがよくわかりません；