分数の積分問題

質問

∫4/(x^2－x＋1)dxを求めるのに
x－1/2＝(√3)tanu/2とおくと
dx＝(√3）/2)/(cosu)^2du
x^2－x＋1＝｛(√3）/2｝^2/(cosu)^2
∫4〔(cosu)^2/｛(√3）/2du｝)^2〕du/(cosu)^2＝4/｛(√3）/2｝∫du＝8u/√3＋C
という答なのですが
x－1/2はx^2－x＋1を(x-1/2)^2+3/4から出てくると思うのですが、x－1/2＝(√3)tanu/2がどうしても出てきません。なぜこうなるのでしょうか。
わかりやすくお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

(1)　　(x-1/2)^2+3/4
は要するに
(2)　　y^2 + a^2
の形です．
(3)　　y = a tan(u)
とおいて
(4)　　y^2 + a^2 = a^2 {tan^2(u) + 1} = a^2 {1/cos^2(u)}
としたいので，(3)のようにしているのです．
今は a^2 = 3/4 だから a = (√3)/2 になっています．
(4)で a^2 がくくり出せるようにしておかないと，
(5)　　tan^2(u) + 1 = 1/cos^2(u)
が使えません．

それから，数学的内容とは直接関係ありませんが
(√3)tanu/2 と書かれると
(√3)tan(u/2) なのか，(√3)tan(u)/2 なのか，区別がつきません．
テキストで式を書くには誤解されないように細心の注意が必要です．

お礼

恐れ入ります。
ありがとうございました。
初心者なものでいろいろ教えて下さい。