不定積分

質問

すみませんがどなたか詳しく噛み砕いて教えてください。
∫x/√1-x^2 dx なのですが解は -√1-x^2 + cになるらしいのですが　-1/2∫1/√u du　でなぜ　-√u + C　になるのかわかりません。すみませんがよろしくお願いいたします。

回答No.3

waseda2003 · ベストアンサー

直接のご質問に対しては，積分は微分の反対として計算されますから，微分の公式

（√x）’= 1/(2√x)

より成り立ちます。

なお，変数変換をしなくても，被積分関数を

x/√(1-x^2) = (-1/2)*(-2x)/√(1-x^2)
= -（1-x^2）’/{2√(1-x^2)}

と変形すれば，合成関数の微分の逆よりすぐに計算が終わりますね。

まず，微分法（高校数学III）の復習をされてはいかがでしょうか？

お礼

（√x）’= 1/(2√x)という公式を覚えておけばよかったのですね、理解できましたありがとうございます。

回答No.4

tomtak

積分が分からない時は、積分の反対である微分を考えると分かりやすいかもしれません。

　u^n + 定数 を、uで微分すると、n＊u^(n-1) ですよね？
ということは逆に、
n＊u^(n-1)をuで積分すると、u^n + 定数 ということです。
つまり、

　　n ∫u^(n-1)du = u^n+定数

です。
今、n=1/2とすると、

(1/2) ∫u^(-1/2)du = u^(1/2)+定数

となるので、u^(1/2)を√uと表せば、
1/2∫1/√u du = √u + C　（Cは定数)
と書けますよね？

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

eliteyoshi

先ほど回答したものですが、もしかして∫x/√1-x^2 dxは ∫x/√(1-x^2) dx の間違いではないですか？それならば、置換積分で解きます。
　u=1-x^2とするとdu/dx=-2xよりdu=-2xdxです。よって、

∫x/√(1-x^2) dx
=(-1/2)∫(-2x)/√(1-x^2) dx
ここで置換して
=(-1/2)∫1/√u du　
先ほどと同様に計算して
=-√u+C
さらにu=1-x^2より
=-√(1-x^2)+C

となります。

お礼

置換積分って解き方もあるんですね、すみませんありがとうございます。

回答No.1

eliteyoshi

不定積分の公式
∫x^a dx=[1/(a+1)]x^(a+1)+C
を使います。
　ご質問の場合は1/√u =u^(-1/2)だから公式をそのまま当てはめて、

(-1/2)∫1/√u du
=(-1/2)∫u^(-1/2)du
=(-1/2)・2・u^(1/2)+C
=-u^(1/2)+C
=-√u+C

です。∫x/√1-x^2 dxについては、この式が本当にこれでよいのか分かりませんが、そのまま解くと√1=1だから

∫(x-x^2)dx
=(1/2)x^2-(1/3)x^3+C

となります。