一階常微分方程式の本の答えと比較

質問

次の微分方程式の一般解を求めよ。
y^2 + x^2 dy/dx = 2yx

(y/x)^2 + dy/dx = 2 y/x
dy/dx = x du/dx + u
から
u^2 + x du/dx + u = 2u
すなわち
x du/dx = -u^2 + u
これを変形して
1/(u^2-u) du/dx = -1/x　　　　　←ここから自分の答えとは異なり始めます
両辺を積分して
∫( 1/(u^2-u) ) du = -∫1/x dx
∫( 1/(u-1) - 1/u ) du = -∫1/x dx
から
log|(u-1)/u| = -log|x| + C
これより
C' = e^C
(u-1)/u = C'/x
u=y/x を代入すると
(y-x)/y = C'/x
更に整理して
y = x^2/(x-C')

と、本の答えには書いてあります。
自分の答えは
x du/dx = -u^2 + u
これを変形して
1/(u-u^2) du/dx = 1/x　　　　　←ここから本の答えとは異なり始めます
両辺を積分して
∫( 1/(u-u^2) ) du = -∫1/x dx
∫( 1/u - 1/(1-u) ) du = ∫1/x dx
から
log|u/(1-u)| = log|x| + C
これより
C' = e^C
u/(1-u) = C'x
u=y/x を代入すると
y/(x-y) = C'x
更に整理して
y = C'x(x-y)
y = C'x^2-C'xy
1 = C'x^2/y-C'x
1 + C'x = C'x^2/y
(1 + C'x)/C'x^2 = 1/y
y = C'x^2/(1 + C'x)

になりました。
本の答えとは等価ではないようです。
でも、両辺の符号を変えなかっただけなので、自分の計算方法でも正しい答えが得られると思っています。どこから間違ってしまったのか教えてください。どうかお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞でも、両辺の符号を変えなかっただけなので、自分の計算方法でも正しい答えが得られると
＞思っています。
質問者さんの答えで合っていると思います。元の方程式に当てはめれば等式が成り立っています。
確認してみて下さい。

お礼

ありがとうございます。
合ってますか！

よく考えると、自分の答えをC'/C'で割ってあげると
y = C'x^2/(1 + C'x) ÷ C'/C'
y = x^2/(1/C' + x)
y = x^2/(x + 1/C')
となって、本の答え
y = x^2/(x - C')
とそっくりですね。そして積分定数は0でなければどれでも良さそうです。

微分方程式で元の方程式に当てはめる、というのをやったことがありません。
（本の答えのほうで）ちょっとやってみますと、
y = x^2/(x - e^C)
dy/dx = { 2x(x-e^C) - x^2(1) } / (x-e^C)^2
dy/dx = (x^2-2xe^C) / (x-e^C)^2
dy/dx = (x^2-2xe^C+e^2C -e^2C) / (x-e^C)^2
dy/dx = { (x-e^C)^2 -e^2C) } / (x-e^C)^2
dy/dx = 1 - e^2C/(x-e^C)^2

y^2 + x^2 dy/dx = 2yx
{x^2/(x - e^C) }^2 + x^2 { 1 - e^2C/(x-e^C)^2 } = 2x{ x^2/(x - e^C) }
x^4/(x - e^C)^2 + x^2 - (x^2 * e^2C)/(x-e^C)^2 = 2x^3/(x - e^C)
x^4/(x - e^C)^2 + x^2 - (x^2 * e^2C)/(x-e^C)^2 = 2x^3/(x - e^C)
両辺をx^2で除する
x^2/(x - e^C)^2 + 1 - e^2C/(x-e^C)^2 = 2x/(x - e^C)
両辺に(x - e^C)^2を掛ける
x^2 + (x - e^C)^2 - e^2C = 2x(x - e^C)
x^2 + x^2 - 2xe^C + e^2C - e^2C = 2x^2 - 2xe^C
x^2 + x^2 - 2xe^C + e^2C - e^2C - 2x^2 + 2xe^C = 0
0 = 0
・・・できましたーっ！！！
微分方程式ってこうやって検算するんですね！
（自分の答えのほうも後でやっておきます）
また一つ賢くなりました。質問してよかったです。
ありがとうございました！

回答No.4

alice_44

どちらの答えも、完全ではありません。
y = x^2/(x - A) と
y = Bx^2/(1 + Bx) は
AB = -1 の関係で互いに移り合いますが、
この関係式を見れば判るように、
A=0 に対応する B や
B=0 に対応する A は
存在しません。
微分方程式の解はどうなってるかというと、
A=0 に対応する y = x も
B=0 に対応する y = 0 も
ちゃんと
y^2 + x^2 dy/dx = 2yx を満たします。
どちらの解法も、
式変形の途中で分母が0になる場合を
場合分けすることを忘れています。

お礼

うわ、すみません、回答を読まずに閉じてしまいました（汗
確かに、分母が０になる場合を考えてなかったです（本もそこまで要求していないとはいえ）。
このままだと未定義にもなり得てしまうわけですね。
数学のそんな厳密なところ、好きです。(^^ゞ
また勉強になりました。
ありがとうございました！

回答No.3

ferien

ANo.2です。　　答えは合っていると思いますが、
以下のところ
＞両辺を積分して
＞∫( 1/(u-u^2) ) du = -∫1/x dx
＞∫( 1/u - 1/(1-u) ) du = ∫1/x dx
は、
＞両辺を積分して
＞∫( 1/(u-u^2) ) du = ∫1/x dx
＞∫( 1/u ＋ 1/(1-u) ) du = ∫1/x dx
とすればいいと思います。

お礼

ありがとうございます。
部分分数展開のところも見てくださったんですね。
確かに紙の上ではちゃんと+になっていました。
ありがとうございました。

回答No.1

ereserve67

>自分の答えは
>x du/dx = -u^2 + u
>これを変形して
>1/(u-u^2) du/dx = 1/x　　　　　←ここから本の答えとは異なり始めます
>両辺を積分して
>∫( 1/(u-u^2) ) du = -∫1/x dx

4行目の式は正しいです．しかし6行目で右辺にマイナスが付いています．これが間違いです．

お礼

ありがとうございます。
それは単なるコピペ後の手直しミスです。
気付きませんでした・・・。