積分の問題で答えが二つでます。

質問

∫(3x + 2)^2 dx
という問題なんですが、答えが二つでてしまって困っています。

展開してみると、
∫(3x + 2)^2 dx = ∫(9x^2 + 12x + 4) dx
= 3x^3 + 6x^2 + 4x + C
となりますが、
置換積分でしてみると、
u = 3x + 2
du = 3dx
dx = du/3
∫(3x + 2)^2 dx = ∫u^2 * du/3
= ∫1/3 * u^2 du
= 1/9 * u^3 + C
= 1/9 * (3x + 2)^3 + C
= 1/9 * (27x^3 + 54x^2 + 36x +8) + C
= 3x^3 + 6x^2 + 4x + 8/9 + C
となります。

どういう理由で一方のやりかたでやらなければいけなくて、どういう理由でもう一方のやりかたを使ってはいけないのか、というあたりを教えてください。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

不定積分は「定数部分」が「不定」だから
不定積分です．

一つの関数fに対して，F'=f となる関数Fが一個あれば
(F+C)'=f (Cは定数)，つまり定数を微分すれば0になるからです．

したがって，不定積分を求める際には
定数分の違いはどうでもいいのです．
どっちでもいいのですが，出てきた答えが
「綺麗」になる方が一般には好まれます．
今回の場合は，置換積分のほうが綺麗なほうですが，
綺麗か否かの基準はある程度の慣れがないと分かりませんし
微妙なことも多いので，
特に指定がない限り，テストとかでバツになるとかはありません．
ちなみに後で使うことなどを考えて，
あえて「汚い」形で書くこともあります．

回答No.3

Willyt

例えばｘ＝０から１までを積分して見て下さい。変換したｕで積分するとその範囲は２から５までになりますね。この二つを計算すると同じ値になるでしょう。結局貴方が導いた二つの式は同じものなのですよ。

お礼

自分が導いた答えは実は同じものだったんですね。
みなさん回答どうもありがとうございました＾＾

回答No.1

at9_am

どちらも同じものですよ。

3x^3 + 6x^2 + 4x + C
3x^3 + 6x^2 + 4x + 8/9 + C'
は、おなじものです（C = 8/9 + C'）。

どちらも、微分すれば
9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2
となることからも、両方とも解として正しいことが確認できます。