積分 ∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx

質問

問題）　By using the substitution u = 2x - 1 , or otherwise, find ∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx

これを私流に計算していくと　

∫(2x)/(2x - 1) ^2 　du/2　

1/2 ∫ (u+1) (u^ -2) du

1/2 ∫ ( u ^ -1 + u ^ -2) du

ここで途中計算の質問なのですがこれを積分すると
1/2[ u ^0 - (u ^ -1)]　+　ｃ　→1/2 [ - (u ^ -1)]　+　ｃ　 となっていいのでしょうか？

それとも　1/2 ∫ ( 1/u + u ^ -2) du　　となり
1/2 ( ln l u l - u ^ -1) + c と続いていくのでしょうか？

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

u = 2x - 1
du=2dx ⇒ dx=(1/2)du
2x=u+1
より

I=∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx=∫(u+1)/u^2 (1/2)du

>これを私流に計算していくと　

>∫(2x)/(2x - 1) ^2 　du/2 ←同じ積分の式では1つの積分変数しか使っては使っていけないよ。　

>1/2 ∫ (u+1) (u^ -2) du
I=(1/2) ∫ (u+1) u^(-2) du

>(1/2) ∫ ( u ^-1 + u ^-2 ) du
I=(1/2) ∫ ( u ^(-1) + u ^(-2) ) du

>ここで途中計算の質問なのですがこれを積分すると
>1/2[ u ^0 - (u ^ -1)]　+　ｃ　→1/2 [ - (u ^ -1)]　+　ｃ　 となっていいのでしょうか？
これは間違いです。↑

>それとも　1/2 ∫ ( 1/u + u ^ -2) du　　となり
I=(1/2) ∫((1/u) +(1/u^2)) du

>1/2 ( ln l u l - u ^ -1) + c と続いていくのでしょうか？
I=(1/2) ( ln |u| - (1/u) ) + c
これ↑なら合っているよ。
後はu=2x-1を代入してもとの変数ｘに戻せば良いです。

お礼

わかりました、助かりました。
途中計算での間違い指摘も有難うございます。

回答No.2

spring135

質問の趣旨は公式

∫(u^n)du=u^(n+1)/(n+1)+C

がn=-1のとき成り立つかということだと思いますが、結論は成り立ちません。

分母の定数(n+1)が0になって式が無意味になっていることからも明らかです。

n=-1のとき、すなわちu^(-1)=1/uのときは

∫(u^n)du=∫(1/u)du=log|u|+C

です。

お礼

よくわかりました、教えて下さって有難うございます。

回答No.1

f272

∫ (u ^ -1) du = u ^ 0 + c
と
∫ (u ^ -1) du = ln | u | + c
と，どちらが正しいかは積分の公式集にも出ていると思うぞ。

お礼

「積分の公式集」 で検索してみるといっぱい出てきました。
こうゆうのがあるのも知りませんでした。
勉強になります、有難うございました。