高校数学 置換積分の計算問題です。

質問

∫x^5√(1-x^2) dx
　　u = √(1-x^2) = (1-x^2)^(1/2)
　　u^2 = 1 - x^2
　　x^2 = 1 - u^2.　　x^4 = (1-u^2)^2.
　　du = (1/2)(1-x^2)^(-1/2)(-2x)dx
　　　 = -xdx/√(1-x^2) = -xdx/u
　　∴-udu = xdx.

　　∫x^5√(1-x^2) dx
　= ∫x^4・√(1-x^2)・x dx
　= -∫(1-u^2)^2・u・udu
　= -∫(u^4-2u^2+1)^2・u^2 du
　= -∫ u^6 - 2u^4 + u^2 du
　= -( u^7/7 - (2/5)u^5 + u^3/3 ) + C
　= - u^7/7 + 2u^5/5 - u^3/3 + C.

　　-u^7/7 = -√(1-x^2)(√(1-x^2))^6/7 = -√(1-x^2)・(1-x^2)^3/7
　　2u^5/5 = 2√(1-x^2)(√(1-x^2))^4/5 = 2√(1-x^2)・(1-x^2)^2/5
　　-u^3/3 = -√(1-x^2)(√(1-x^2))^2/3 = -√(1-x^2)・(1-x^2)/3

　　∴∫x^5√(1-x^2) dx
　= -√(1-x^2)・(1-x^2)( (1-x^2)^2/7 - 2(1-x^2)/5 + 1/3 ) + C.

　これ、合ってますでしょうか？　wolframa では
　　(-5/12)・(1-x^2)^(6/5)
となります。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

＞　∴∫x^5√(1-x^2) dx
＞　= -√(1-x^2)・(1-x^2)( (1-x^2)^2/7 - 2(1-x^2)/5 + 1/3 ) + C.

下を微分して上になったら、正しいんじゃないでしょうか。

お礼

そうですね（笑）。合ってました。