定積分の問題で質問です

質問

∫[0→∞](x+7)/((x+1)(x^2+2x+4))dx
(x+7)/((x+1)(x^2+2x+4))=(-2x-1)/(x^2+2x+4)+2/(x+1)
=1/(x^2+2x+4)-(2x-2)/(x^2+2x+4)+2/(x+1)

∫[0→∞](1/(x^2+2x+4)-(2x-2)/(x^2+2x+4)+2/(x+1))dx
=∫[0→∞](1/((x+1)^2+3)-(2x-2)/(x^2+2x+4)+2/(x+1))dx

ここでx^2+2x+4=tと置き2x+2dx=dt
xが0→∞のとき、tは4→∞

u=x+1と置いてdu=dx
xが0→∞のとき、uは1→∞

で解いてみたのですが、答えの一部がlog∞になってしまいます。
log∞は解としてはだめですか？

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>答えの一部がlog∞になってしまいます。
>log∞は解としてはだめですか？
だめです。

> =1/(x^2+2x+4)-(2x-2)/(x^2+2x+4)+2/(x+1)
この第1項の積分は収束して積分でき「π/(3√3)」(●)となりますが、
第2項は「-∞」に発散し、第3項は「∞」に発散します。
なので第2項と第3項を別々に定積分してはいけません。
第2項と第3項を不定積分して、原始関数（不定積分の任意定数を除いた
関数）を求めてやりそこでx→∞としてやればちゃんと収束して積分値が
出てきます。

第2項の不定積分（原始関数）は
(4/√3)tan^(-1)((x+1)/√3)　-ln(x^2+2x+4)
第3項の不定積分（原始関数）は
2ln|x+1|
なので
lim(x→∞) {2ln|x+1|-ln(x^2+2x+4)}
=lim(x→∞) ln{(x+1)^2/(x^2+2x+4)}
=ln(1)=0
となって発散の原因となる項が消滅します。
その結果、第2項と第3項を加えた関数の定積分は
収束して「2log(2)+{4π/(3√3)}」（■）
となります。
(●)と(■)を加えたのが、積分の答えになります。

途中の積分はやってみてください。
わからなければ、途中計算を補足に書いて質問して下さい。

お礼

回答ありがとうございます。
limをすっかり忘れていました。
おかげさまで解けました。

回答No.1

Tacosan

だめです.
そもそも被積分関数の部分分数分解が間違ってる (1/(x^2+2x+4)-(2x-2)/(x^2+2x+4)+2/(x+1) ではなく 1/(x^2+2x+4)-(2x+2)/(x^2+2x+4)+2/(x+1) ですよね) わけですが, 置換積分するときに
∫[0→∞] dx/((x+1)^2+3) - ∫[0→∞] (2x+2) dx/(x^2+2x+4) + ∫[0→∞] 2 dx/(x+1)
と分解したんだとしたらここがアウト. 問題として与えられた定積分とこの分解した式とは等しくありません.
広義積分の定義に戻って「上限を M として定積分してから M→∞ の極限を計算」してください. 最終的に, 有限の値が得られるはずです.

お礼

回答ありがとうございます。
有限値を無事得られました。