積分について

質問

x・dy/dx+y+y^2/xを
変数分離形になおせという問題ですが、
du/2u+u^2＝-dx/xとなるのはわかりました。
次にする積分ですが右辺の-dx/xは-log｜x｜になるのは分かるんですが
左辺が1/2(log｜u｜-log｜u+2｜)になるのが分かりません。
さらにlog｜x^2u(u+2)｜＝2C
になる過程が分かりません。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

次のように部分分数展開して２項に分ければ右辺と同様に積分できるだろう。
du/(2u+u^2)=(1/2){1/u-1/(u+2)}du
=(1/2){du/u -du/(u+2)}
⇒(1/2)(log｜u｜-log｜u+2｜)+C1
=(1/2)log|u/(u+2)|+C1=-log|x|+C2
両辺２倍して、右辺を左辺に移項すると
log|u/(u+2)|+2log|x|=log|(x^2)u/(u+2)|=2(C1-C2)=2C
ここで、C=C1-C2とおく。

＞さらにlog｜x^2u(u+2)｜＝2C
＞になる過程が分かりません。
とはならないだろう。
log｜(x^2)u/(u+2)｜＝2C
だよ。
答が間違っているか、書き写しミスのどちらかだね。

お礼

すいません。間違ってました。
ご丁寧にありがとうございました!!

回答No.2

R_Earl

> 左辺が1/2(log｜u｜-log｜u+2｜)になるのが分かりません。

部分分数分解をします。

du/2u+u^2
= du{ 1 / (2u + u^2) }
= du[ 1 / { u(u + 2) } ]

1 / { u(u + 2) }を部分分数分解すると

1 / { u(u + 2) }
= (1/2) [ (1 / u) - {1 / (u + 2)} ]

この結果から、

du/2u+u^2
= (du/2) [ (1 / u) - {1 / (u + 2)} ]

これを積分すれば、∫(1 / u)du = log| u |、∫{ 1 / (u + 2) }du = log | u + 2 |となります。

> さらにlog｜x^2u(u+2)｜＝2C
> になる過程が分かりません。

左辺
= 1/2(log｜u｜-log｜u+2｜)
= 1/2(log| u / (u + 2) | )

となるはずなので、最終的にlog｜x^2u(u+2)｜= 2Cとはならない気がします。
この点に関してはよく分かりません。

お礼

答えが間違ってたみたいです。すいません。
ご丁寧にありがとうございました!!

回答No.1

ElectricGamo

du/2u+u^2　ではなくて、du/(2u+u^2)ならの話ですが、

du/(u(2+u)) = 1/2×(du/u-du/(u+2))なので積分すると 1/2(log|u|-log|u+2|)

1/2(log|u|-log|u+2|)=-log|x|+C なので

1/2(log|u|-log|u+2|) + log|x| = C

log|u|-log|u+2| + 2log|x| = 2C

log|u|-log|u+2| + log|x|^2 = 2C

log|x^2u/(u+2)| = 2C　となります。

この場合、log｜x^2u(u+2)｜＝2C にはならないでしょう。

お礼

ご指摘ありがとうございます。間違ってました。
ご丁寧にありがとうございました!!