Σの計算方法のナゼ

質問

Σ(k=1～n)ｋ^2・３^k-1=n(n+1)(2n+1)/6×３^n－１/２
として求めてはいけないのはどうしてなのでしょうか。
問題は解けるのですが、はっきりとした理由がわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.6

tarame · ベストアンサー

#3です
あなたが、高校生と判断して話します。
Σを使う問題は、次の公式（ｋ＝１～ｎのとき）
--------------------------------------------
　　Σｃ＝ｃｋ（ｃは定数）
　　Σｋ＝n(n+1)/2
　　Σｋ^2＝n(n+1)(2n+1)/6
　　Σｋ^3＝{n(n+1)/2}^2
　　Σr^(k-1)＝(r^n-1)/(r-1)（等比数列の和）
---------------------------------------------
の組み合わせですよね。
この公式を使うために、最初の式を変形しなければなりません。
そのときに使えるのが、前回に示した
------------------------------------
　　Σ{a(k)±b(k)}＝Σa(k)±Σb(k)
　　Σp×a(k)＝p×Σa(k) (pは定数)　
------------------------------------
だけなのです。
例えば
Σ(k^2＋2k－3^k)であれば
Σｋ^2＋2Σｋ－3Σ3^(k-1)と変形して
n(n+1)(2n+1)/6－2×n(n+1)/2－3×(3^n-1)/(3-1)
と計算するわけです。

さて、Σｋ^2・３^k-1　の場合ですが、
あなたが気づいた ｋ^2 と　３^(k-1) に変形したいところですが
Σｋ^2×３^k-1　を　Σｋ^2×Σ３^(k-1)　と式変形することは出来ません。
（その理由は、多くの方が説明している通りです。）
Σ の式変形は、和と差のときと定数倍のときのみできるのです。

お礼

やっとわかるようになりました。
大きな勘違いをしていたようです。
再度にわたって丁寧にご回答いただき、ありがとう
ございました。

回答No.5

Largo_sp

Σ（k=1～n)k^2=(n(n-1)/2)^2になりませんよね
これがどうしてか判ればわかるのでは？

(1+2)(1+2)と　1^2+2^2 との違いです

積をばらしてΣすると、和の間の無駄な項が沢山出てしまうので…と私は理解してますが

お礼

>Σ（k=1～n)k^2=(n(n-1)/2)^2になりませんよね
これがどうしてか判ればわかるのでは？

はい、なりませんよね。
勘違いしてたようです。

ありがとうございました。

回答No.4

shinchan_k

Σ(k=1～n)ｋ^2・３^k-1=n(n+1)(2n+1)/6×３^n－１/２と考えるのは、
Σ(k=1～n)ｋ^2=n(n+1)(2n+1)/6
Σ(k=1～n)３^(k-1)=(３^n－１)/２
となるので、Σ(k=1～n)ｋ^2・３^(k-1)=(Σ(k=1～n)ｋ^2)×(Σ(k=1～n)３^(k-1))=n(n+1)(2n+1)/6×３^n－１/２となるというわけですよねえ。
このΣ(k=1～n)ｋ^2・３^(k-1)=(Σ(k=1～n)ｋ^2)×(Σ(k=1～n)３^(k-1))の部分ですが、Σの性質からするとおかしいんですよ。まず左辺ですが、
Σ(k=1～n)ｋ^2・３^(k-1)=1^2・3^0+2^2・3^1+3^2+3^2+…+n^2・3^(n-1)
となり、また右辺は
(Σ(k=1～n)ｋ^2)×(Σ(k=1～n)３^(k-1))=(1^2+2^2+3^2+…+n^2)×(3^0+3^1+3^2+…+3^(n-1))
となりますので、明らかに左辺と右辺は同じじゃないですよね。
Σ(k=1～n)ｋ^2・３^(k-1)=(Σ(k=1～n)ｋ^2)×(Σ(k=1～n)３^(k-1))
はΣに対する分配法則を適用しているんですが、Σは文字定数ではなく単なる和の記号なので、分配法則を使うことはできないのです。

お礼

なるほど。大きな勘違いをしていたようです。
わかるようになりました。

ありがとうございました。

回答No.3

tarame

和の記号Σの使い方をしっかりと学習しましょう。

Σ{a(k)±b(k)}＝Σa(k)±Σb(k)
Σp×a(k)＝p×Σa(k) (pは定数)　は成り立ちますが
Σa(k)×b(k)＝Σa(k)×Σb(k) は成り立ちません。

三番目の式ですが
ｋ＝１～２として考えてみてください
Σa(k)×b(k)＝a(1)b(1)＋a(2)b(2)
Σa(k)×Σb(k)＝{a(1)＋a(2)}×{b(1)＋b(2)}
＝a(1)b(1)＋a(2)b(2)＋a(1)b(2)＋a(2)b(1)
となり、成り立たないことがわかると思います。

補足

第n項までの和は途切れて求めてはいけないということでしょうか。

定数倍されるだけなら、第n項までの和は途切れることはありませんが、
n(n+1)(2n+1)/6×３^n－１/２
としてしまえば、第１項×第１項＋第２項×第２項・・・第n項×第n項
ということになり、一つ一つのkの文字式（ここでいうｋ^2と３^k-1）に関する
第n項までの和の効果がなくなってしまうからダメだということでしょうか。

うまく説明できてませんが、再度ご回答いただけるとありがたいです。。
よろしくお願いします。

回答No.2

mmky

参考程度に
f(k)=k^2*3^k-1, Σ(k=1～n)f(k)
を a=3, f(x)=x^2*a^x-1,　∫[1～n] f(x) dx,
に置き換えてみると、
f(x)は、x　のみの関数なので、
∫[1～n] x^2*a^x-1 dx は、
[∫[1～n] x^2 dx][∫[1～n] a^x-1 dx]
にはならないということですね。

お礼

すみません。
積分を使っての発想がよくわかってないです。
積分とΣが関係あるのは知りませんでした。

ありがとうございました。

回答No.1

hpsk

Σ[k=1～n]ｋ^2
= 1^2 + 2^2 + ... + n^2
= n(n+1)(2n+1)/6

Σ[k=1～n]３^(k-1)
= 3^0 + 3^1 + ... + 3^(n-1)
= (3^n - 1)/2

なのはいいのですよね。とすると、質問の式の右辺は
n(n+1)(2n+1)/6 × (3^n - 1)/2
=(1^2 + 2^2 + ... + n^2)×(3^0 + 3^1+ ... +3^(n-1))
ですね。

左辺は、
Σ[k=1～n]ｋ^2・３^(k-1)
= ( 1^2×3^0 + 2^2×3^1 + ... + n^2×3^(n-1) )
ですから、両者は全く別物です。

お礼

別物というのはわかってますが、第n項までの和
どうしの積がいけない理由がよくわかってませんです。

ありがとうございました。