Σの計算について

質問

n
Σ２×３^k
k=１

この計算はどうすればいいのですか？

答えは

6(3^n-1)/3-1=3(3^n-1)

という風になります。
６はどこから出てきたんでしょうか？
公式などがあるのですか？
分かる人、解説をお願いします。

回答No.6

k_yuu01

まず書いてみましょう
総和した式をSとすると
S＝2×3^1+2×3^2+2×3^3+2×3^4+2×3^5…2×3^n
ここから、２をくくり出すと
S=2×(3^1+3^2+3^3+3^4+3^5…3^n)
（）の中を注目すると、これは初項が３、公比が３の等比数列。

初項がa、公比がrの等比数列の和は
a(r^n - 1) / (r-1)
なので
3^1+3^2+3^3+3^4+3^5…3^n　＝　3(3^n - 1) / 2
ここまで理解して頂かないと次へ進めません。

上記のことから、
S = 2×(3^1+3^2+3^3+3^4+3^5…3^n)
は
S = 2 × 3(3^n - 1) / 2　　　ここまでOK？

分子分母の２が約分できるのですが、しないで分子の２を３にかけると
S = 6(3^n-1)/2

質問者さんの疑問に思われている６はこれです。

回答No.5

misan007

kが１からｎなので項数はn個です。
それで
n
Σ２×３^k
k=１
っていうのは
(２×３^1）＋
(２×３^2）＋
(２×３^3）＋
・
・
・
(２×３^ｎ）っていうことなので前の項の３倍ずつ増えて（公比が３）いっているのが
分かります。

回答No.4

kishiura

公式は先の回答者さんの仰るとおりですが、その原理は
Ｓ＝a+ar+ar^2+…ar^(n-1)
- rＳ＝ ar+ar^2+…ar^(n-1)+ar^n

(1-r)Ｓ＝a-ar^n
です。
求める前に、そして公式を覚える前に、原理を考えてください。

回答No.3

bskb

一般項
an=a×r^(n-1)　（a:初項、r:項比）
の等比数列の初項からn項までの和は

i)r≠1の場合
　 Sn=a(1-r^n)/(1-r)

ii)r=1の場合
Sn=na

という公式があります

高校数学の公式がまとめられているページを貼っておきます
http://www.crossroad.jp/mathnavi/

回答No.2

leap_day

n
Σa×r^k
k=１

初項：a1　とすると
a1(1-r^n)/(1-r) ただしr≠1

か

a1:k=1のときの値　＝＞a×r^1=ar　なので
ar(1-r^n)/(1-r) ただしr≠1

だったような気がするんですが・・・

回答No.1

misan007

n
Σ２×３^k
k=１

っていうのは等比数列なんで、
等比数列の公式を使って
初項　６　公比　３　項数　n
で計算しています。

補足

初項　６　公比　３　項数　n

って言うのはどうやって出すんですか？