Σの計算における変形について

質問

数列の問題の解説の途中で、よくわからない変形があったので質問させてください。

Σ_[k=1,n]｛2k(k-1)+1｝=2Σ_[k=1,n-1]k(k+1)+n

この変形について、理解出来ない点が２つあります。

まず１つは、なぜこのように変形できるのかがわかりません。
なぜk=1のまま、Σの上部のｎが、右辺ではn-1になっているのでしょうか。
また、その変化によって、なぜk(k-1)がk(k+1)になっているのでしょうか？
この変形の仕組みがいまいち理解できません・・・。

もう１つは、この変形の意図が理解できません。
2k(k-1)+1=2k^2-2k+1なので、これをそのままΣの公式を当てはめても、普通に答えは出せます。
それなのに、なぜこのような変形をするのでしょうか？

もしよろしければ、教えてください。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

＞なぜk=1のまま、Σの上部のｎが、右辺ではn-1になっているのでしょうか。
＞また、その変化によって、なぜk(k-1)がk(k+1)になっているのでしょうか？
式変形と考えてしまうよりも、
「どのような数に対して和をとっているか」と考えた方が理解しやすいと思います。

k(k-1)に対して、k＝ 1, 2, 3,・・・, nとして和をとる。

これを k＝ m+1と置き換えてみると（1だけスライドさせる感じで）
(m+1)mに対して、m＝ 0, 1, 2,・・・, n-1として和をとる。

となります。
同じ「k」で置き換えを考えてしまうと、ややこしくなってしまいますね。
あとは、m＝ 0のときには (m+1)m＝ 0となるので、和は m＝ 1～ n-1とすることができます。

＞もう１つは、この変形の意図が理解できません。
k(k-1)の初項は 0と和に関与しない項になっているので、
それを省きたかっただけかもしれません。

お礼

理解できました。ありがとうございます。

回答No.2

alice_44

Σ_[k=1,n] の k を、この Σ の「総和変数」と言いますが、
総和変数は、他の文字に入れ替えても、式の意味が変わりません。
例えば、Σ_[k=1,n]{ 2k(k-1)+1 } と Σ_[x=1,n]{ 2x(x-1)+1 }
は、全く同じ式です。

このように置き換えてから、展開整理すると、
Σ_[x=1,n]{ 2x(x-1)+1 }
= Σ_[x=1,n]{ 2x(x-1) } + Σ_[x=1,n]{ 1 }
= 2 Σ_[x=1,n]{ x(x-1) } + n
ですが、ここで再び　k = x - 1 で置き換えると、
= 2 Σ_[k=0,n-1]{ (k+1)k } + n
となります。最初の k と最後の k が、
字は同じでも異なる変数なので、ややこしいですね。

k = 0 の場合の { } 内の値を考えれば、
Σ_[k=0,n-1]{ (k+1)k } = Σ_[k=1,n-1]{ (k+1)k }
が解って、完了です。

お礼

理解できました。ありがとうございます。