総和計算

質問

Σ[k=1,n-1](n-k)+Σ[k=n+1,100](k-n)の計算の仕方を教えてください

Σ[k=1,n-1](n-k)
=n(n-1)-(n-1)(n-2)/2 と考えたのですが全然違うものとなってしまいました
また、Σ[k=n+1,100](k-n)は検討さえつきません
ちなみに答えは(n-1){n-1+n-(n-1)}/2 + (100-n){(n+1-n)+(100-n)}みたいです
初歩的かもしれませんがよろしくお願いします

回答No.4

info22_

#2です。

A#3の補足の質問について
>今更ですが1+2+・・・+(100-n)が(100-n+1)*(100-n)/2となるのは何故でしょうか？

S=1+2+・・・+(100-n)
S=(100-n)+・・・+2+1 ←逆順に並べ替える。
2S={1+(100-n)}+{2+(100-n-1)}+・・・+{(100-n-1)+2}+{(100-n)+1} ←上下、縦に加える。
2S=(100-n+1)+(100-n+1)+・・・+(100-n+1)+(100-n+1)←右辺の(100-n)個の{ }内を計算すると全て(100-n+1)となる。
2S=(100-n+1)(100-n)　←同じ項(100-n+1)が(100-n)個あるからまとめる。
S=(100-n+1)(100-n)/2　← 2で割ると補足質問の式が得られます。

お礼

詳しくありがとうございました
できました

回答No.3

yyssaa

Σ[k=1,n-1](n-k)
=n(n-1)-(n-1)(n-2)/2 と考えたのですが・・・
＞ここから違います
Σ[k=1,n-1](n-k)はk=1～(n-1)で(n-k)を加算するのだから
Σ[k=1,n-1](n-k)=(n-1)+(n-2)+(n-3)+・・・+n-(n-1)であり、
これを書き直すと=n+n+n+・・・+n-(1+2+3+・・・+(n-1))になり、
nが(n-1)個でn(n-1)、(1+2+3+・・・+(n-1))=n(n-1)/2だから
Σ[k=1,n-1](n-k)=n(n-1)/2になります。
また、Σ[k=n+1,100](k-n)は検討さえつきません
＞Σ[k=n+1,100](k-n)はk=(n+1)～100で(k-n)を加算するの
だから、
Σ[k=n+1,100](k-n)={(n+1)-n}+{(n+2)-n}+・・・+{100-n}であり、
書き直すと1+2+・・・+(100-n)になり、1から(100-n)までの和
だからΣ[k=n+1,100](k-n)=(100-n+1)*(100-n)/2
=(101-n)(100-n)/2になります。
両者を足して{n(n-1)/2}+{(101-n)(100-n)/2}です。
ちなみに答えは(n-1){n-1+n-(n-1)}/2 + (100-n){(n+1-n)+(100-n)}みたいです
＞この式は最後の/2が足りません

お礼

わかりました
ありがとうございました

補足

すみません、今更ですが1+2+・・・+(100-n)が(100-n+1)*(100-n)/2となるのは何故でしょうか？

回答No.2

info22_

>答えは(n-1){n-1+n-(n-1)}/2 + (100-n){(n+1-n)+(100-n)}みたいです
これは間違いです。
「(n-1){n-1+n-(n-1)}/2 + (100-n){(n+1-n)+(100-n)}/2」
であれば、簡単にすると
　=n^2 -101n +5050
と正しい結果が出ます。

途中計算を詳細に書くと以下の通り。

Σ[k=1,n-1](n-k)+Σ[k=n+1,100](k-n)
=Σ[k=1,n-1] n -Σ[k=1,n-1] k +Σ[k=n+1,100] k -Σ[k=n+1,100] n
=nΣ[k=1,n-1] 1 -Σ[k=1,n-1] k +(Σ[k=1,100] k -Σ[k=1,n] k) -nΣ[k=n+1,100] 1
=n(n-1) -(1/2)(n-1)n +(1/2)100*101 -(1/2)n(n+1) -n(100-n)
=n^2 -n -(1/2)n^2 +(1/2)n +5050 -(1/2)n^2 -(1/2)n -100n+n^2
=n^2 -101n +5050

お礼

入力を間違えました すみません
ありがとうございました

回答No.1

178-tall

各項に分け、さらに下記のようにΣ内も分ければ、勘定が少しは見通しよくなりそうです。
　n-1
　Σ (n-k)
　k=1

　　 n-1
　= -Σk + n(n-1) = -n(n-1)/2 + n(n-1) = n(n-1)/2
　　 k=1

以下、同文。

お礼

わかりました
ありがとうございました