高校数学の数列のΣ計算の問題です 4-6

質問

数列a[n](n=1,2,...)においてΣ[k=1→n]{(k+1)(k+2)a[k]}/3^(k-1)=-1/4・(2n+1)(2n+3)が成り立っている

次の問いに答えよ
(1)a[n]をnの式で表せ
(2)Σ[k=1→n]a[k]を求めよ

(1)は分かりましたが(2)で使うと思うので、解説は(1）から書きます

(1)n>=2のとき(Σ「k=1→n]-Σ[k=1→n-1]){(n+1)(n+2)a[n]}/3^(n-1)=1/4・｛(2n+1)(2n+3)-(2n-1)(2n+1)であり、a[n]=-(2n+1)/{(n+1)(n+2)}・3^(n-1) (n>=2)
また与えられた等式にn=1を代入して(2・3a[1])/3^0=-1/4・3・5 よってa[1]=-5/8

(2)はa[k]=b[k]-b[k-1](k>=2)をみたすb[k]として(A・3^k)/(k+2)の形のものが、とりあえず考えられる

(A・3^n)/(n+2)-{A・3^(n-1)}/(n+1)={A(2n+1)3^(n-1)}/(n+1)(n+2)はA=-1のときにa[n](n>=2)と一致

するからΣ[k=1→n]a[k]=-5/8-Σ[k=2→n]{3^k/(k+2)-3^(k-1)/(k+1)}

=-5/8-{3^n/(n+2)-3^(2-1)/(2+1)}

　=3/8-3^n/(n+2)　

これはn>=2で適用できる式であるがn=1のとき{3^n/(n+2)-3^(2-1)/(2+1)}=0であるからn=1でも適する

とあるのですが

a[k]=b[k]-b[k-1](k>=2)をみたすb[k]として(A・3^k)/(k+2)の形のものが、とりあえず考えられるの所で
何故そんな事が言えるのか分かりません、b[k]として(A・3^k)/(k+2)の形この式はどこから来たのですか？

後はΣ[k=1→n]a[k]=-5/8-Σ[k=2→n]{3^k/(k+2)-3^(k-1)/(k+1)}が成り立つのが分かりません

a[k]は(1)で出したa[n]=-(2n+1)/{(n+1)(n+2)}・3^(n-1にnをkにした式のはずですし、k=1の時は-5/8ですがこれは分けて考える必要がありますから、何故一つの式に

a[k]=-5/8-Σ[k=2→n]{3^k/(k+2)-3^(k-1)/(k+1)}のように入れているのか分かりません

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

質問に答える前に問題を解いてみると、
次の問いに答えよ
(1)a[n]をnの式で表せ
＞n=1のときk=1だから
{(k+1)(k+2)a[k]}/3^(k-1)=-1/4・(2n+1)(2n+3)でn=k=1として
{(1+1)(1+2)a[1]}/3^(1-1)=-1/4・(2+1)(2+3)
2*3a[1]=(-1/4)*3*5、a[1]=-5/8
n≧2のとき
Σ[k=1→n-1]{(k+1)(k+2)a[k]}/3^(k-1)=-1/4・{2(n-1)+1}{2(n-1)+3}
=-1/4・(2n-1)(2n+1)だから
[Σ[k=1→n]{(k+1)(k+2)a[k]}/3^(k-1)]-[Σ[k=1→n-1]{(k+1)(k+2)a[k]}/3^(k-1)]
={(n+1)(n+2)a[n]}/3^(n-1)=[-1/4・(2n+1)(2n+3)]-[-1/4・(2n-1)(2n+1)]=-(2n+1)
よってa[1]=-5/8、n≧2でa[n]=-(2n+1)3^(n-1)/{(n+1)(n+2)}・・・答
(2)Σ[k=1→n]a[k]を求めよ
＞a[1]=-5/8、n≧2でa[n]=-(2n+1)3^(n-1)/{(n+1)(n+2)}={1/(n+1)-3/(n+2)}3^(n-1)
だから
a[1]=-5/8
a[2]=(1/3-3/4)3^1=3/3-9/4
a[3]=(1/4-3/5)3^2=9/4-27/5
a[4]=(1/5-3/6)3^3=27/5-81/6
・・・・・・・・・・・・・・
a[n-1]={1/n-3/(n+1)}3^(n-2)=3^(n-2)/n-3^(n-1)/(n+1)
a[n]={1/(n+1)-3/(n+2)}3^(n-1)=3^(n-1)/(n+1)-3^n/(n+2)
以上の左辺と右辺をそれぞれ合計すると、右辺は3項しか残らないので、
Σ[k=1→n]a[k]=-5/8+3/3-3^n/(n+2)=3/8-3^n/(n+2)・・・答

(1)は分かりましたが(2)で使うと思うので、解説は(1）から書きます
(1)n>=2のとき(Σ「k=1→n]-Σ[k=1→n-1]){(n+1)(n+2)a[n]}/3^(n-1)=1/4・｛(2n+1)(2n+3)-(2n-1)(2n+1)であり、a[n]=-(2n+1)/{(n+1)(n+2)}・3^(n-1) (n>=2)
また与えられた等式にn=1を代入して(2・3a[1])/3^0=-1/4・3・5 よってa[1]=-5/8
(2)はa[k]=b[k]-b[k-1](k>=2)をみたすb[k]として(A・3^k)/(k+2)の形のものが、とりあえず考えられる
(A・3^n)/(n+2)-{A・3^(n-1)}/(n+1)={A(2n+1)3^(n-1)}/(n+1)(n+2)はA=-1のときにa[n](n>=2)と一致
するからΣ[k=1→n]a[k]=-5/8-Σ[k=2→n]{3^k/(k+2)-3^(k-1)/(k+1)}
=-5/8-{3^n/(n+2)-3^(2-1)/(2+1)}
　=3/8-3^n/(n+2)　
これはn>=2で適用できる式であるがn=1のとき{3^n/(n+2)-3^(2-1)/(2+1)}=0であるからn=1でも適する
とあるのですが
a[k]=b[k]-b[k-1](k>=2)をみたすb[k]として(A・3^k)/(k+2)の形のものが、とりあえず考えられるの所で
何故そんな事が言えるのか分かりません、b[k]として(A・3^k)/(k+2)の形この式はどこから来たのですか？
後はΣ[k=1→n]a[k]=-5/8-Σ[k=2→n]{3^k/(k+2)-3^(k-1)/(k+1)}が成り立つのが分かりません
a[k]は(1)で出したa[n]=-(2n+1)/{(n+1)(n+2)}・3^(n-1にnをkにした式のはずですし、k=1の時は-5/8ですがこれは分けて考える必要がありますから、何故一つの式に
a[k]=-5/8-Σ[k=2→n]{3^k/(k+2)-3^(k-1)/(k+1)}のように入れているのか分かりません

＞まとめて答えると(1)で求めたn≧2のときのa[n]=-(2n+1)3^(n-1)/{(n+1)(n+2)}は、
部分分数{1/(n+1)-3/(n+2)}3^(n-1)に分解できるからであり、具体的には上記の解法
の過程を参考にされたい。

お礼

御返答有難うございます

補足

貴方の解き方は分かったのですが、解説でa[k]=b[k]-b[k-1](k>=2)をみたすb[k]として(A・3^k)/(k+2)の形とありますが、これは一体何のことなのですか？

この式にA=-1の時a[n]と一致するって事で

Σ[k=1→n]a[k]=-5/8-Σ[k=2→n]{3^k/(k+2)-3^(k-1)/(k+1)}を
出してきたのですが、どうやって出てきたのですか？