二次関数

質問

f(x)=x²+2x-1
=(x+1)²-2
(-1.-2) 範囲は(a≦x≦a+2)
最小値を求めます。
その時軸が範囲より右にあるとき、範囲の中にあるとき、範囲より左にあるとき、で場合分けするのですが

範囲は(a≦x≦a+2)でxが入ってるのになんで範囲にない時も場合分けするのかが分かりません

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

関数y=f(x)はxに様々な値を代入すればそれぞれに対応してyの値が求まります。
（かつてはxを独立変数，yを従属変数などと呼びました。xを勝手に代入することができ，それを代入した計算の結果yが求まるからでしょう）

二次関数　f(x)=x²+2x-1　でも，xの値を決めれば（例：x=k)それに従って関数の値f(k)が定まりますね。

そして，与えられたxの範囲　a≦x≦a+2　を定義域と言いますが，これは代入すべきxの範囲（この範囲のxを代入してよい）を定める条件です。

＞範囲は(a≦x≦a+2)でxが入ってるのに……

a≦x≦a+2は，この関数f(x)に代入できるxがa以上てa+2以下の値という意味です。aは（文字ですからどんな数値か固定できませんが）定数として扱います。変数でなく「自由定数」とでも名前を付けてみましょう。

f(x)=x²+2x-1=(x+1)²-2
と変形できるから，y=f(x)のグラフは
「点(-1, -2)を頂点とする下に凸の放物線」ですね。
まず，そのグラフをきれいに図示しましょう。

そして，定義域(c)は，『幅が2』の範囲です。（自由定数ですから）aが動けば定義域(a≦x≦a+2)もx軸上をスライドします。
例：a=-2なら-2≦x≦0　a=-1なら-1≦x≦1　a=0なら0≦x≦2)　a=1/2なら1/2≦x≦5/2……

そこでこの低意義域をスライドしてみて最大最小を考えるのです。そのためにきれいに描かれたグラフが絶対に必要です。試験に出題された問題ならなおさらです。

場合分けは3通りありますが，ひとつだけ解答例を示します。
a<-3　の場合
a+2<-1であるから，定義域a≦x≦a+2は軸x=-1よりも左にあるので，x=a+2で最小値をとる。
最小値は f(a+2)=(a+2+1)^2-2=(a+3)^2-2=a^2+6a+7 となりますね。

とにかくグラフを描いて定義域をスライドして考えてみてください。これをクリアしないと（このような問題に慣れないと）数1は厳しいよ。