二次関数の場合分けの仕方に関する素朴な疑問です。

質問

二次関数の場合分けの仕方に関する素朴な疑問です。
最大値の場合分けの場合
定義域を足して2で割ったものが軸の左にあるか、軸のところにあるか、軸の右にあるか
で場合分けしても問題ないのでしょうか？
(????式や二次関数が面白いほど…に書いてあったのですが)
このやり方で
y=x^2-2x-2(-1≦x≦a)
をやると
a＜3、a=3、3＜a
となり、僕の持っている問題集と場合分けの仕方が異なります。
a=3、3＜aは同じなのですがa＜3は1-＜a＜3
となっています。

上記の場合分けでも大丈夫なのでしょうか？
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

＞＞＞上記の場合分けでも大丈夫なのでしょうか？

大丈夫ではありません。
定義域の式が　－１≦ｘ≦ａ　ですので、ａ≧－１　です。
そこに注意しなくてはいけません。

さて、
「足して２で割る」というのは、定義域の両端のＸ座標の平均値ということですね？
たしかに、有用な手法の一つでしょう。

ｙ　＝　ｘ^2　－　２ｘ　－　２
　＝　（ｘ^2　－　２ｘ　＋　１）　－　１　－２
　＝　（ｘ－１）^2　－　３
よって、軸は、ｘ＝１
（定義域は、－１≦ｘ≦ａ）

定義域の両端の平均値は、（－１＋ａ）／２

ここで、足して２で割って軸と比較し、
（－１＋ａ）／２　＝　１　としてみると、
ａ＝３

場合分け
（Ａ）軸ｘ＝１のど真ん中
ａ＝３　かつ　－１≧ａ
　⇒　ａ＝３

（Ｂ）軸ｘ＝１より左寄り
ａ＜３　かつ　ａ≧－１
　⇒　－１≦ａ＜３

（Ｃ）軸ｘ＝１より右寄り
ａ＞３　かつ　－１≧ａ
　⇒　ａ＞３

なお、（Ｂ）のところで私と模範解答とで≦と＜の違いが出ていますが、
どちらかといえば、私のほうが正しいと思います。
たとえ、－１≦ｘ≦ー１　（つまり、ｘ＝－１）の一点だけでも、その一点を最大値としてよいからです。

以上、ご参考に。

回答No.3

sanori

すみません。場合分けのところで、不等号の書き間違いをしていたので訂正します。
正しくは・・・

場合分け
（Ａ）軸ｘ＝１のど真ん中
ａ＝３　かつ　ａ≧－１
　⇒　ａ＝３

（Ｂ）軸ｘ＝１より左寄り
ａ＜３　かつ　ａ≧－１
　⇒　－１≦ａ＜３

（Ｃ）軸ｘ＝１より右寄り
ａ＞３　かつ　ａ≧－１
　⇒　ａ＞３

回答No.1

spring135

1-＜a＜3における1-＜aは定義域-1≦x≦aから出てくるもので、自明かもしれませんが回答としては書く必要があります。
＞(????式や二次関数が面白いほど…に書いてあったのですが)
の記載がどういう趣旨のものか解りませんが、
自分でグラフを書いて、aを動かして考えて行くべきです。

気になるのはa=-1の場合です。定義域がx=1となり、y=1が最大値と考えるべきなのか、最大値はないと考えるべきなのかです。
＞僕の持っている問題集
では最大値はないと考えているように思われます。
さらにa=3のときは、最大値はa=-1またはa=3において1ですが、うっかりa=-1及びa=3において1と書いてしまいそうです。
その点も問題集で確認しておいてください。