二次関数の最大値、最小値の問題の場合分けがわかりません。

質問

二次関数の最大値、最小値の問題の場合分けがわかりません。
問題はこれです。

関数y=-x^2+2ax-a^2-2a-1 (-1≦x≦0)の最大値が0となるような定数aの値を求めよ。

解答をみたところ、軸が範囲の左端、範囲内、右端になる場合（つまり、a<-1,-1≦a≦0,0<a）になるそうです。
なぜこうなるのかがまったくわかりません。

平方完成してy=(x-a)^2-2a-1になるところまではわかります。
そこからグラフを書けばいいのでしょうが、
どのように場合分けすればよいのでしょうか。
調べましたが「グラフを書いてから場合分けしよう」となっています。
でも、場合分けの大まかな形がわからない状態でグラフがかけるとは思いません。
グラフをかく方法（＝場合分けの方法）を教えてください。
ほかの問題にも活かしたいので、場合分けの方法について簡単に教えてください。
数学には特に疎いのでやさしくお願いします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

平方完成すると、y=-(x-a)^2-(2a+1)　です。　※負符号がぬけてますヨ

これは頂点が(a,-(2a+1))となる上に凸の2次関数です。

場合分けする際の注意点は、今回-1<=x<=0の範囲で最大値が0という所です。

xの範囲の制限がなければ、「上に凸」の形状から、頂点のところが
最大値=-(2a+1)となります。
しかしながら今回は制限があることから、頂点が必ずしも最大値を与える
とは限りません。
1)xの範囲が頂点を含む場合　→　頂点が最大値を与える
2)xの範囲が頂点を含まない場合　→　頂点が最大値を与えない。
　後者はさらに２つに分けられます。即ち、
　2-1)xの範囲よりも右側に頂点がある場合
　　　→2次関数形状から、x=0（xの範囲の中で大きい側）が最大値を与えます
　2-2)xの範囲よりも左側に頂点がある場合
　　　→同様に考えると、x=-1（xの範囲の中で小さい側）が最大値を与えます

1),2-1),2-2)がそれぞれ、-1<=a<=0,0<a,a<-1に該当します。

参考にグラフ（絵）を描きましたので、確認ください。

お礼

迅速な御回答ありがとうございます。
とてもわかりやすいです。
結構簡単な問題だったのですね。
特に(2-1,2)のほうのイメージがわかなかったようです。
解答のほうにはそれほど詳しく書かれてなかったので助かりました。